Des de que era un nen sempre m'ha agradat fet "juguesques" amb nombres en certs moments d'esbarjo o d'ensopiment, me n'he inventat de tota mena i generalment els més senzills són els que més m'enganxen...
    Una d'aquestes, potser mig mania o mig superstició, és tractar d'esbrinar tot el possible d'un número que m'hagin assignat a l'atzar, com si d'aquesta manera pogués preveure si em serà favorable o no i com que no necessito la calculadora per a anar pel món, mentre que un altre es fumaria, ensopit, un parell de cigarretes, jo remeno un xic les meves neurones...
    Hi ha gent per tot!! pensareu i teniu raó, però els meus pulmons, al menys, estan contents!
    Així, per exemple, conservo un bon record del 511 que em va permetre descobrir el concepte de "múltiples sincers" i que em va ser força favorable! i aquí la prudència em diu que calli...
    Doncs bé, no fa gaire fou el 365 el que es va creuar en el meu camí o millor dit carretera...
    Tots coneixem aquest número perquè són els dies de l'any, és clar, però potser també haureu escoltat alguna vegada allò de:

    Jo en conec un bon grapat de casos! Sembla com si totes les carreteres sinuoses d'aquest país tinguessin sempre 365 revolts!!
    Així que, arribat aquest punt, permeteu-me una petita definició del número 365:

 

    Per cert i abans d'aclarir això, sabeu:

    Passem ara si al tema central d'aquest capítol, com he definit el 365 és un número paradigmàtic entre els nombres al quadrat donat que és l'únic que compleix una curiosa propietat:

    La demostració no és gaire complicada, busquem 5 nombres consecutius que compleixin:

    Deduïm, per tant, que:

    Agrupem els termes semblants i:

    Les dues solucions possibles són: n = 0 (que no ens serveix) i n = 12
    Els únics nombres que ho compleixen són: 10², 11², 12², 13², 14² que sumats fan 365.

    I no només això, a més el 365 el podem expressar també així:
            2² + 19² = 365
            4² + 5² + 18²  = 365
            3² + 6² + 8² + 16² = 365
  Vaig arribat a pensar que es podria expressar amb tots els quadrats de l'1 al 19 sense repetir-ne cap, però van fallar, per ben poc, un parell de casos:
            1²  + 7² + 9² + 3² = 365     que repeteix el 3²
            2²+ 6² + 17² + 6² = 365    el 6² ho espatlla una mica
    A més si el descomponem en factors primers tenim que:

    Animat per aquestes troballes, vaig buscar més cosetes entre potències, bàsicament quadrats i cubs, de les que ara us en faig "cinc cèntims"...
    Fàcilment deduïble del fet de que la "distància entre dos nombres consecutius al quadrat és la suma de tots dos" és la divertida successió piramidal:
            1² = 1
            2² = 1 + 3
            3² = 1 + 3 + 5
            4² = 1 + 3 + 5 + 7
            5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, etc.
    Observem com sempre el número que afegim a la successió és la suma de l'anterior i l'últim:
            3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4, 9 = 4 + 5, etc.

    Una altra singular i magnífica successió piramidal és la dels nombres al cub:
            1³ = 1
            2³ = 3 + 5
            3³ = 7 + 9 + 11
            4³ = 13 + 15 + 17 + 19
            5³ = 21 + 23 + 25 + 27 + 29, etc.
    que no es pas cap "casualitat" si tenim present que:

    Si observem aquests sumatoris veiem que en els nombres imparells el terme central és el número al quadrat (en el cas de 3³ => 9 = 3², en el cas de 5³ => 25 = 5², etc.).
    El primer terme sempre és a₁= n² - n + 1    Ex. (25 - 5 + 1 = 21)
    i el darrer és a_n= n² + n - 1                      Ex. (25 + 5 - 1 = 29)
    Llavors podem expressar 2n² com (n² + n - 1) + (n² - n + 1) sumant i restant n - 1

    Aquesta expressió justament és el sumatori de nombres imparells exposat.
    No sembla que per altres potències no existeixi res similar...

    La següent troballa remarcable si treballem una mica i ens construïm una petita taula dels nombres al cub és la senzilla, però única:

    Efectivament:    27 + 64 + 125 = 256

  Analitzant una mica més enllà se'm va acudir de sumar la successió piramidal de nombres al cub exposada anteriorment
            1³ = 1
            1³ + 2³ = 1 + 3 + 5 = 9
            1³ + 2³ +3³ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
            1³ + 2³ +3³ + 4³ =  1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100, etc.
  i el cor em va fer un bot d'alegria, Déu em perdoni la meva ignorància en aquest camp de l'aritmètica!  quan em vaig adonar de la relació que s'entreveia:
            1³ = 1 = 1²
            1³ + 2³ =  9 = 3² = (1 + 2)²
            1³ + 2³ +3³ = 36 = 6² = (1 + 2 + 3)²
            1³ + 2³ +3³ + 4³ = 100 = 10² = (1 + 2 + 3 + 4)²
            1³ + 2³ +3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15²= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

    Es a dir: 1³ + 2³ +3³ + ... + n³ =  (1 + 2 + 3 + ... + n)²

    No tenia cap dubte de que era una propietat coneguda, però vaig considerar una gran sort poder redescobrir-la i potser sentir la mateixa emoció que els primers calculistes que la trobaren, ara ja sé que els àrabs ja la coneixien a l'Edat Mitjana.

 

    Quan comencem a comparar els nombres elevats a diverses potències, des de 2 fins a n, es pot caure en la temptació de buscar la mateixa relació que existeix en el Teorema de Pitàgores:

però per a altres potències, es a dir, trobar tres nombres de manera que la suma dels dos primers elevats a una determinada potència tingui per resultat el tercer elevat a aquesta potència, com per exemple:

    o en general:

  doncs bé, ja en el segle XII el matemàtic àrab Al-jayyam havia comprovat que no existia cap solució per a la potència 3, en el conjunt dels enters.
    I més endavant el gran matemàtic Pierre Fermat a mitjans del segle XVII va formular la seva famosa conjectura en la que afirmava que aⁿ + bⁿ = cⁿ (per n > 2) no tenia solució, en el conjunt dels nombres enters.
    Aquesta ha estat una de les grans qüestions sense resoldre, quasi un mite, que ha trencat el cap dels millors matemàtics de les tres últimes centúries. La història és prou engrescadora:
    Resulta que Fermat va escriure al marge d'una obra de Diofanto on apareixia el Teorema de Pitàgores que aⁿ + bⁿ = cⁿ (per n > 2) no tenia solució i que havia trobat una demostració meravellosa per aquest teorema, però que no en tenia prou espai per a desenvolupar-la, també ho va manifestar en alguna de les seves cartes a amics matemàtics, però mai no es va trobar...
    Alguns matemàtics posteriors la van demostrar per a successives potències, com Euler que ho va fer per les potències 3 i 4, etc.
    Per a acabar d'enfortir el mite es diu que, en certa ocasió, havia estat descoberta la seva demostració, però que després es va perdre.
    Així es va arribar al segle XX, havent trobat demostracions per a potències inferiors a 100, però mai una demostració general per a totes les potències. Fins i tot es començava a dubtar de que fos possible, de fet s'oferia una bona pila de milions a qui la trobés...
    Però la notícia va saltar a finals del mil·leni: "El Teorema de Fermat ha estat demostrat!"

    A finals de 1.994 es va ratificar que la demostració del matemátic británic Andrew Wiles era correcta i vàlida.

    No cal dir res més ja que la xarxa està plena d'informació sobre aquesta feliç troballa...

 

    Per a acabar us volia plantejar un petit problema molt en la línia d'aquest capítol, es tracta de resoldre una equació molt similar al Teorema de Fermat, però es clar, amb solució, al menys per a la potència tercera.

L'EQUACIÓ IMPOSSIBLE

Quants anys d'aquest nou vingut tercer mil·leni tindran exactament 365 dies?

    Doncs seran exactament 758 anys de 365 dies i, òbviament, 242 anys de 366 dies.
    Si heu pensat que 750 sento dir-vos que encara regiu els vostres destins pel "Calendari Julià"
    Segons la reforma d'aquest calendari establerta durant el regnat del Papa Gregori XIII a l'any 1582: els anys acabats en 00 només seran anys de traspàs si són múltiples de 400,
per la qual cosa ho foren el 1.600 i el recent 2.000 ("Ho serà l'any 2000?" debat molt popular els mesos previs), però no el 1.700 ni el 1.800 ni el 1.900.
    Així que del nou mil·leni tindrem que només ho seran el 2.400 i el 2.800 i per tant, dels 250 possibles n'haurem de restar 8.
    Ho serà l'any 3.000 i el 4.000?
    Doncs, potser a l'any 4.000 tindrem una sorpresa!, he dit "tindrem?..." Visca l'optimisme!!
    Si la voleu saber m'haureu d'escriure E-milios, i quant vegi una mica d'interès us ho explicaré.