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- PRODUCTOS ALTERNATIVOS
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Multiplicamos con las
manos
-
En este apartado expondré una
curiosa manera de hacer productos con las manos.
Siempre ha estado mal visto contar con las manos, así que ahora
propondré un pequeño divertimento para romper un poco esta
mala imagen de los dedos calculadores. No se trata de ningún método
revolucionario ni de cálculo rápido, es un simple pasatiempo...
Será necesario conocer las tablas de los 5 primeros números y de memorizar (calcular)
los productos de los múltiples de 5 como se verá.
Este método se puede aplicar a números del 6 al 100, o mayores,
pero es más sencillo trabajando con cifras pequeñas,
obviamente. Veamos un pequeño estudio demostrativo.
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Supongamos que queremos multiplicar
14 x 12,
los pasos a seguir son los siguientes:
a) Le restamos 10 a cada número, para poder expresarlo con los
dedos, y nos quedan 4 y 2.
b)
Eso quiere decir que hemos rebajado en 10 x 10 =
100
el producto.
c) Ahora sumamos los dedos que tenemos 4 + 2 = 6, y esto,
lo multiplicamos por 10 (número restado),
es decir, 6 x 10 = 60.
d) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 4 x 2 = 8.
Ahora sumamos las tres cantidades
anteriores: 100
+
60 + 8 =
168,
-
y ya tenemos el
resultado 14 x 12
= 168.
-
Probemos ahora a multiplicar 18 x 17,
de un modo similar efectuaremos:
a) Le restaremos 15 a cada número, para poder expresarlo con los
dedos, nos quedan 3 y 2
b)
Eso quiere decir que hemos rebajado en 15 x 15 =
225
el producto.
c) Ahora sumamos los dedos que tenemos 3 + 2 = 5, y eso,
lo multiplicamos por 15 (número restado),
es decir, 5 x 15 = 75.
d) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 3 x 2 = 6.
Ahora sumamos las 3 cantidades
anteriores: 225
+
75 + 6 =
306, y ya tenemos que
-
18 x 17 = 306
- Otro
ejemplo 21 x 23,
los pasos a seguir son los siguientes:
a) Le restaremos 20 a cada número y nos quedan 1 y 3, hemos rebajado en 20 x 20 =
400.
b) Ahora sumamos los dedos que tenemos 1 + 3 = 4, lo multiplicamos por 20: 4 x 20 =
80.
c) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 1 x 3 = 3.
Sumamos las 3 cantidades: 400
+
80 + 3 =
483, y obtenemos que:
21 x 23 = 483.
-
Eso funciona para cualquier cifra, pero nos surge un problema
si queremos operar cifras de grupos diferentes, es decir, dónde se haya
de restar una cantidad diferente a cada mano.
Supongamos que queremos calcular
32 x 18,
entonces tenemos que hacer unos pequeños cambios:
a) Le restamos 30 al primer número y 15 al segundo,
por tanto, nos quedan 2 y 3.
b)
Eso quiere decir que hemos rebajado en 30 x 15 =
450
el producto.
c) Ahora multiplicamos los dedos por la cantidad restada en la otra mano
(productos cruzados), o sea, 2 x 15 = 30
y 3 x 30 = 90 y lo sumamos 30 + 90
= 120.
d) Multiplicamos los dedos de cada mano, 2 x 3 = 6.
Ahora sumamos las 3 cantidades
anteriores: 450
+
120 + 6 =
576, así que: 32 x 18 = 576
Una poco más complicado en este caso, pero funciona igualmente.
-
-
Para acabar con este método, y para los más avanzados, presentaré su
demostración:
Dados dos números
x
e y,
los podemos
expresar en forma de un múltiplo de 5 más un resto:
x
= 5·m + a;
y = 5·n + b.
5·m
y 5·n
son los múltiplos de 5 que restaremos,
a
y b
los dedos.
Entonces tenemos que:
x · y = (5m + a) · (5n
+ b) = 25·m·n + a·5n + b·5m + a·b.
- Por tanto:
25·m·n
es la primera cantidad rebajada,
a·5n + b·5m
los productos cruzados y a·b el
producto de los dedos.
-
Obviamente,
si m =
n, el
cálculo es más rápido: 25·n²
+ (a + b)·5n + a·b.
-
Ahora ya podréis ir presumiendo de que ¡¡sabéis multiplicar con las manos!!

- Un método diferente
y más rápido de multiplicar
-
Buscando métodos de calculo mental o rápido diseñé
una pequeña estrategia que, después de un poco de práctica, me funciona muy bien
para hacer productos con números no muy
grandes. Lo llamo "método de las decenas cruzadas" y funciona de la
siguiente manera:
- Tenemos,
por ejemplo, el producto 27 x 34,
-
· Primer paso:
Calcular las unidades: 7
x 4 = 28, por
tanto,
el resultado acaba en 8
y tengo 2
decenas.
· Segundo paso: Calcular las decenas, esto se hace en dos partes:
34
x
2 = 68 y
3
x
7 = 21.
es decir, las 2 decenas del primer número por el otro 34 y las 3
decenas del segundo por 7.
· Tercer paso: Sumamos todas las decenas 2
+ 68 +
21 = 91.
El resultado es 918.
- Otro
ejemplo, el producto 37 x 52,
-
· Primer paso:
Calcular las unidades: 7 x
2 =
14, el resultado
acaba en 4
y me llevo 1
decena.
· Segundo paso: Calcular las decenas en dos partes:
52 x 3 =
156
y 7
x 5 =
35.
· Tercer paso: Sumamos todas las decenas 1
+ 156 +
35 = 192.
El resultado ahora es 1.924.
-
Puede parecer complicado de entrada, pero con un poco de práctica,
he comprobado que funciona bastante bien como un recurso de cálculo
mental.

- Método "lineal
de los productos cruzados"
-
Este es un método de multiplicar mucho interesante que no
necesita hacer la suma final de hileras de números, se resuelve linealmente
siguiendo un esquema predeterminado.
-
Esta ilustración nos indica como tenemos que ir operando los diferentes
números:

- El esquema para un
producto de 3 x 3 cifras tiene 5 pasos:
(1) Producto
lineal de unidades,
(2) Producto cruzado
unidades-decenas,
(3) Producto
triple cruzado de unidades-centenas más el de decenas,
(4) Producto cruzado
decenas-centenas y
(5) Producto
lineal de centenes.
Tomemos, por ejemplo, el producto 376 x 542
- ·
Multiplicamos siguiendo el esquema dado el 2 x 6 =
12, el resultado
acaba en 2 y
nos llevamos 1.
· Ahora se ha de multiplicar en cruz
7 x 2 =
14
y 4 x
6 =
24,
lo sumamos todo: 14
+ 24
+ 1
= 39, el segundo número
es
el 9 y nos llevamos
3.
· El esquema nos indica
ahora que tenemos que multiplicar los números extremos y los del medio, es
decir:
2
x 3 = 6,
5 x 6 =
30 y 7 x 4 =
28, lo sumamos:
6 +
30 +
28 +
3
= 67, ponemos el 7
y nos llevamos 6.
· Ahora
multiplicamos en cruz 7
x 5 =
35 y
4
x 3 = 12,
es decir: 35 +
12 +
6
= 53,
ponemos el 3 y nos
llevamos 5.
·
Acabamos haciendo 3 x 5 =
15, por tanto,
15 +
5
=
20
- ·
El resultado final es 203.792
-
-
Si
faltase alguna cifra, es decir, un producto de 3 x 2 dígitos,
se pone un 0 en su lugar.
La primera impresión que tenemos es que de un método complicado y lioso,
pero haced la prueba y veréis que es bastante sencillo e, incluso, más
rápido.
-
Además, ¿no os gusta romper esquemas?
-

-
- Este es el esquema por un
producto de 4 x 4 cifras, es decir, tiene
7 pasos:
(1) Producto
lineal de unidades,
(2) Producto cruzado
unidades-decenas,
(3) Producto
triple cruzado de unidades-centenas más el de decenas,
(4) Producto cuádruple
cruzado de unidades-millares más cruzado decenas-centenas,
(5) Producto
triple
de decenas-millares más el de centenas,
(6) Producto cruzado centenas-millares
y
(7) Producto
lineal de millares.
Por ejemplo, el producto: 3.518 x 4.209
- (1) 8
x 9 = 72, primer número el 2
nos llevamos 7 >> (2) 9 x 1 = 9, 8
x 0 = 0; 7 + 9 + 0 = 16
>>
(3) 9 x 5 = 45, 2 x 8 = 16, 1 x 0 = 0; 1
+ 45 + 16 = 62
>>
(4) 9 x 3 = 27, 4 x 8 = 32, 5 x 0 = 0, 2 x 1 = 2; 6
+ 27 + 32 + 2 = 67
>>
(5) 3 x 0 = 0, 4 x 1 = 4, 5 x 2 = 10; 6
+ 4 + 10 = 20
>>
(6) 3 x 2 = 6, 4 x 5 = 20; 2
+ 6 + 20 = 28
>> (7) 4 x 3 = 12; 12 + 2
= 14
-
- El resultado final
es: 14.807.262
-
-
Evidentemente este método funciona para cualquier producto, sólo se ha de
hallar el
- esquema de trabajo,
pero siguiendo la lógica de los presentados aquí, no es muy complicado...
Además comentaré que si el
producto es, sólo,
de 2 x 2 cifras, el esquema, obviamente, es:
-
-
- I
X I
-
Soy consciente que estos recursos pueden ser considerados puramente
anecdóticos, más en una época donde las calculadoras mandan, pero
todavía quedamos unos cuantos románticos del cálculo.
-
Estoy investigando todo tipo de métodos de cálculo mental o
rápido e iré ampliando esta sección progresivamente. Queréis ver una muestra:
Sabíais
que para dividir rápidamente por 11 sólo es necesario restar las centenas de las
decenas?
-
Ex.
742 : 11 = 67
>> 74 - 7 =
67
Sabíais
que para dividir por 15
sólo tenemos que restar un tercio de las 2 primeras cifras?
Ex.
818
: 11 = 54
>> 81 : 3 = 27 >> 81 - 27 = 54
-
-
Hay muchos más, pero estos métodos requieren pequeños ajustes, ya que si
lo probáis, comprobaréis que puede haber una
error en una unidad, así que más adelante ya iré desarrollándolos.
(índice)

- DECIMALES
PERIÓDICOS
-
-
- La sorprendente belleza
de la infinitud
-
-
-
Estoy seguro que siempre que estáis
calculando una división y habéis llegado, finalmente, a obtener la conocida
repetición infinita de cifras
-o bien, al resto 0 de una división exacta, que también se podría considerar un decimal de
período cero- os habéis sentido tan
liberados de la pesada carga de seguir operando, que, probablemente, no os
habéis
fijado en que aquellas cadenas de cifras esconden una belleza especial y
sorprendente. O quizás, sólo me lo parezca a mí que soy un loco del
cálculo.
Supongo
que la mayoría de vosotros, internautas perdidos en esta página
de divagaciones numéricas, ya sabréis que existen dos tipos de
decimales periódicos:
(Nota:
Parece mentida que no se pueda escribir el signo del período con el ordenador,
me quejaré a Bill Gates :-(
y ¿ahora qué pongo yo en lugar de la simpática "barretina" de los
números periódicos?
Pues bien, he pensado de ponerlos entre acentos, subrayados y en cursiva.
y si alguien tiene una solución mejor que me lo diga, que
si me agrada, le regalaré alguna cosilla...)
·
Puros:
Cuando el período comienza justo detrás de la coma: 6,´83`
; 25,´3` ; etc.
·
Mixtos:
Cuando entre la coma y el período encontramos varias cifras: 4,1´6`
; 7,50´48`
En general
los períodos puros se obtienen a partir de los números primeros y los
mixtos de sus múltiples combinados con las cifras 2 ó 5.
Hechas estas puntualizaciones, pasemos a observar las
cifras periódicas
obtenidas con diversos números primos:
Si dividimos por 3 se pueden obtener los períodos ´3`, ´6`
o división exacta (de hecho 1 = ´9`),
este caso es muy conocido, y lo único que nos puede hacer pensar es que
los períodos son todos múltiples
del ´3`
que podríamos considerar como la base.
-
Los números 9 y 11 parecen tener una
cierto "idilio" entre ellos, ¿no os lo creéis?
Pues, ahora vais a ver lo que se dicen el uno al otro:
-
NUEVE: "Mira Once, ¡Yo soy la cifra unitaria mayor
que existe!" (en
sistema decimal)
ONCE: "Escucha Nueve, Yo soy el número máximo de
dos cifras que se puede escribir en todos
-
los
sistemas de numeración posibles!*.
Además, yo soy capaz de enseñar tu tabla de
-
multiplicar ¡mejor que tú
mismo!"
(*)
Efectivamente,
tiene toda la razón, porque desde el sistema binario hasta cualquier
otro, siempre hallaremos el número 11, con diferentes valores,
claro!...
NUEVE: "¡Pero qué
dices!. Yo soy el único número que
puede construir la "sagrada tabla del 9",
-
la única
en la cual todos sus
valores son "múltiplos sinceros" y en la cual a cada
paso las
-
decenas
aumentan en (+1) y las
unidades disminuyen en (-1). ¡Ninguna otra es comparable!.
¿Cómo puedes, pues, afirmar que tú la puedes enseñar mejor que yo?"
ONCE: "Así es,
porque cuando tú la construyes sólo das la solución una vez, yo en
cambio
soy capaz de hacer tu tabla dando los resultados repetidos ¡infinitas
veces!"
NUEVE: "No
hables más y demuéstralo, que de bocazas está el mundo lleno!"
ONCE: "Observo
una gran incredulidad por tu parte, así que escúchame bien:
Cuando tu construyes tu tabla te vas multiplicando por las demás cifras,
yo en cambio utilizo
-
la
división, sí
chico sí, construyo tu tabla, infinitamente
repetida, ¡DIVIDIENDO!
así,
- 1/11 = 0,09090909... = 0,´09`
;
2/11=
0,181818... = 0,´18`
;3/11
= 0,272727 = 0,´27`
-
y sucesivamente
hasta el 9/11
=
0,8181... = 0,´81`
y
10/11
= 0,909090 = 0,´90`
ya
han de ser "despistados" si no la aprenden conmigo que ¡se la repito infinitas
veces!
Y como ya sabrás, también soy el único número
capaz de clonar cifras ... "
NUEVE: "Lo he de reconocer, eres seguramente el mejor maestro de la
tabla del 9.
pero tanto que presumes de ser capaz de clonar cifras, ya te gustaría a tí poder
clonar un número infinitamente,
incluso tú pretendías ser una cifra
repetida indefinidamente
y
-
pobrecito
mío, ¡te quedaste en sólo dos! Seguro que tienes envidia del 1111...
En cambio yo soy capaz de clonar cualquier cifra por sí
misma hasta el infinito.
Lo quieres ver? 1/9 = 0,11111...
= 0,´1`
;
2/9
= 0,2222... =0,´2`
;
8/9
= 0,´8`
Soy el rey de la clonación. ¡Ay, si yo hubiese agarrado
a la pobre 'Dolly'!"
-
De verdad que en el fondo se estiman, pero, ¡se distraen así!...

Periodicidad de ciclo
completo y de ciclo parcial
-
La
división entre 7 da lugar a números decimales con un
período de seis dígitos, es el primero de los números que tienen la "periodicidad de
ciclo completo", una característica
bastante especial y curiosa. Veamos en que consiste:
1
/ 7 = 0,142857142857... = 0,´142857`
; 2
/ 7 = 0,´285714` ; 5 / 7 = 0,´714285`
; etc.
Es evidente que en todos los casos se repiten las cifras del
período,
sólo cambian de orden.
es decir, cumplen un
ciclo completo y cerrado. Eso puede parecer poco interesante,
pero si probamos a multiplicar las cifras de este período resultante, 142857,
por otros números, tendremos una pequeña sorpresa, ya que siempre se repiten estas cifras
en una rotación.
142857 x 2 =
285741
; 142857 x 3 = 428571
; 142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
; 142857 x 6 = 857142
; 142857 x 7 = 999999
Con el producto por 7 culmina la serie con
¡un triunfal 999999!
Si se prueba con números mayores
que 7, entonces vuelve a salir la serie pero
será necesario sumar la primera y la última cifra: 142857
x 8 = 1142856
; 142857
x 9 = 1285713
Esta pequeña maravilla del cálculo no es un
fenómeno aislado,
de hecho es habitual en otros números primeros, como el 17,
que tiene un período de 16 cifras:
1
/ 17 = 0,´0588235294117646`
; 2 / 17 = 0,´1176460588235294`
; etc.
y
que también podría tener el fenómeno de los productos cíclicos,
si no fuese por pequeñas irregularidades:
- 0588235294117646
x 2 = 1176470588235292
;
etc.
-
También lo encontramos en el 19, que tiene un período de
18 cifras:
1
/ 19 = 0,´0,052631578947368421`
; 2 / 19 = 0,´105263157894736842`
; etc.
el cual
cumple totalmente el fenómeno de los productos cíclicos,
como se puede observar:
- 052631578947368421
x 2 = 105263157894736842
052631578947368421 x
7 = 368421052631578947
052631578947368421 x
19 = 999999999999999999
-
Podríamos
continuar con este capítulo indefinidamente, expongo un par de ejemplos
más:
El número 23 tiene un período de 22 cifras: 0,´0434782608695652173913`
-
El
número 29 tiene un período de 28 cifras: 0,´0344827586206896551724137931`
La
conclusión es clara, la mayoría de los números primeros dan lugar a decimales periódicos con un
ciclo completo de n - 1
cifras.
Quizás algunos de vosotros habréis pensado: "Este tío es
supersticioso y se ha dejado el 13"
¡Pues no!, si queremos a los números, los tenemos que estimar a todos y no
hacer caso
de lo que dice la gente...
(por cierto hoy, que escribo
esto, es viernes 13)
El
número 13 es el primero de los números que tienen la "periodicidad
de ciclo parcial" y lo cual consiste en que aparecen dos tipos diferentes
de períodos, con la mitad de la longitud, depende de cuales sean los dividendos utilizados, es decir:
1
/ 13 = 0,076923076923 = 0,´076923`
; 2 / 13 = 0,153846153846 = 0,´153846`
3 / 13 = 0,230769230769 = 0,´230769`
; 5 / 13 = 0,384615384615 = 0,´384615`
Si ahora probamos a hacer los productos cíclicos, hallaremos que
cumplen
perfectamente, y que los resultados obtenidos son las cifras de uno
o del otro tipo de período:
076923 x 2 =
153846
; 076923 x 3 = 230769
; 076923
x 9 = 692307
y como ya os podéis imaginar: 076923 x 13 =
999999
todo perfecto otra vez, así que de supersticioso nada, que el 13 también hace
las coses como debe.
Otros números que cumplen la "periodicidad de ciclo parcial" son:
El 31, que tiene también un período fraccionado en
dos partes de 15 cifras:
Ex. 1 / 31 = 0,´032258064516129`
y 3
/ 31 = 0,´096774193548387`
El 43, con un período fraccionado en dos partes de 21 dígitos:
Ex. 1 / 43 = 0,´023255813953488372093`
i 2
/ 43 = 0,´046511627906976744186`
El 53,
con un período fraccionado en cuatro partes de 13 dígitos::
Ex. 1 / 53 = 0,´0188679245283`
; etc.
-
Bien lo dejo aquí, las ideas ya han quedado suficientemente expuestas...
Me parece que este capítulo nos ha permitido descubrir una poco más
que los números parecen tener un alma lógica y bella escondida bajo una
fría apariencia, ¿o no?
(índice)

RAÍCES
SORPRENDENTES
-
- Un calculista muy rápido
y listo!
-
-
Tiempo atrás salió en un concurso de TV en el cual se hacían apuestas (...) un
calculista que hizo una demostración en la cual aseguraba que
era capaz de calcular en segundos las raíces cúbicas o quintas con soluciones enteras
del 1 al 100.
Consiguió superar la apuesta y dejó boquiabierto además de uno...
Quizás ahora os sorprendería si os dijese que lo que va hizo era tan
sencillo que, con una pequeña estrategia y un poco de práctica, también está
al alcance de cualquier aficionado al cálculo...
Comenzaré por las raíces quintas, en primer lugar hay que escribir (y memorizar)
las potencias quintas de los números del 1 al 9:
15
= 1 |
25
= 32 |
35
= 243 |
45
= 1.024 |
55
= 3.125 |
65
= 7.776 |
75
= 16.087 |
85
= 32.768 |
95
= 59.049 |
-
Podemos observar que las potencias quintas de los números del 1 al
9 acaban en la misma cifra que ellos mismos, es decir, a partir
de la cifra final de un número podemos deducir que su el raíz quinta
coincide con la última cifra del número (si la solución es un entero).
El siguiente paso a efectuar es dividir el número dado en dos partes,
una compuesta por las 5 últimas cifras y el otro por el resto de
cifras que queden (dado que 105
= 100.000).
Para obtener la cifra correspondiente a las decenas sólo será necesario ver entre que
dos potencias quintas es halla la parte del
número dado que nos queda a la izquierda, la decena es, pues,
la cifra inferior de este intervalo.
La cifra de las unidades es idéntica a la cifra final del
número dado.
- ¡¡Así
de sencillo !!
-
Veamos ahora un par de ejemplos de muestra:
Ej. Para calcular la raíz quinta del número
254.803.968 se
opera de este modo:
· Dividimos el número en dos partes contando 5 cifras desde el
final => 2548 y 03968
· Dado que el 2548 está comprendido entre 45
= 1.024 y
55
= 3.125
=>
la cifra de las decenas es 4
· Y como el 03968 acaba en 8
esta es la cifra de las unidades.
· Por tanto, el raíz quinta de 254.803.968
es igual a 48
-
Ej. Para calcular el raíz quinta del número
1.073.741.824 se hace
lo siguiente:
· Dividimos el número en dos partes contando 5 cifras desde el
final => 10737
y 41824
· Dado que el 10737 está situado entre 65
= 7.776 y
75
= 16.087 =>
la decena es 6
· Y como el 41824 acaba
en 4 esta es la cifra
de las unidades.
· Por tanto, el raíz quinta de 1.073.741.824
es igual a 64
-
Pasemos ahora a las raíces cúbicas, en primer lugar hay que
escribir (y
memorizar) las potencias terceras o cubos de los números del 1 al
9:
13
=1 |
23
= 8 |
33
= 27 |
43
=
64 |
53
=125 |
63
= 216 |
73
=
343 |
83
= 512 |
93
= 729 |
- Observemos
ahora que los cubos de los números del 1 al 9 acaban todos en
cifras diferentes y que no se repiten en ningún caso.
Lógicamente eso nos permitirá, también, deducir
fácilmente la cifra de las unidades de las raíces cúbicas
de resultado entero, ya que no hay ninguna cifra repetida.
El siguiente paso es dividir el número dado en dos partes, una compuesta por las 3 últimas cifras y el otro por
el resto de cifras
(dado que 103
= 1.000).
Para obtener la cifra correspondiente a las decenas sólo hay que buscar
entre que
dos potencias terceras se halla la parte del
número dado que nos queda a la izquierda, la decena será,
pues, la cifra inferior de este intervalo.
La cifra de las unidades se calcula teniendo en cuenta en que cifra
acaban los cubos, así los números: 1, 4, 6 y 9 acaban en la misma cifra que ellos mismos.
Mientras que el 2 con el 8 y el 3 con el 7 se invierten
entre ellos, es decir, los que acaban en 2 tienen por cifra final
de su cubo el 8, los que acaben en 3 tienen por cifra final del su cubo
el 7 y al revés.
-
Ej. Para calcular el raíz cúbica del número
658.503
procedemos así:
· Dividimos el número en dos partes contando 3 cifras desde el
final => 658 y 503
· Dado que el 658 está situado entre 83
= 512 y
93
= 729
=>
la cifra de las decenas es 8
· Y como el 503 acaba en 3,
tal como lo hace 73
= 343,
la cifra de las unidades es 7
· Por lo tanto, el raíz cúbica de 658.503
es igual a 87
-
Este método es válido para todas las raíces de índice impar, si tenemos en
cuenta que
tenemos que dividir los números a calcular
en dos partes la de la derecha siempre del tamaño del índice de la raíz,
es decir, para las raíces séptimas en dos partes contando 7 cifras desde
las unidades, etc. y considerando,
además, la relación que hay entre la cifra de las unidades del número
y la de su potencia.
Para las potencias quinta y novena coinciden las unidades del
número con las de su potencia: Ej. 39
= 19.683, 89
= 134.217.728, 29=
512,
etc.
Las potencias tercera y
séptima repiten el
mismo esquema expuesto antes para los cubos, es decir: 27
= 128, 37
= 2.187, 47
= 16.384, 87
= 2.097.152, 97
= 4.782.969
etc.
-
Pero ¿qué ocurre con las raíces de índice par?
Pues, que presenten la dificultad de que las cifras finales de las sus
potencias no son únicas sino que es repiten y eso impide calcular fácilmente la
cifra de las unidades siguiendo el método expuesto.
12
=1 |
22
= 4 |
32
= 9 |
42
=
16 |
52
=25 |
62
=
36 |
72
= 49 |
82
= 64 |
92
= 81 |
14
=1 |
24
= 16 |
34
= 81 |
44
=
256 |
54
=625 |
64
=
1.296 |
74
=
2.401 |
84
=4.096 |
94
= 6.561 |
-
-
Obviamente podríamos aplicar sólo la primera parte del
proceso y dividir el número en dos partes que nos permitieran calcular
las decenas, pero para la cifra de las unidades no tenemos ningún criterio
sencillo de cálculo y nos quedaríamos a medias.
El único consuelo que podemos tener para las raíces cuadradas y
cuartas
es que disponemos de un algoritmo de cálculo para resolverlas
(la raíz cuarta es, lógicamente, la raíz cuadrada de la raíz cuadrada),
mientras que para las otras raíces no hay ninguno (¿o si?)
Yo he diseñado uno
para las raíces cúbicas, pero ni es sencillo, ni acaba de ser
perfecto.
-
Por cierto, ¿sabéis de dónde procede el algoritmo o método de cálculo
de las raíces cuadradas?
Origen del algoritmo o
método de cálculo de las raíces cuadradas
El cálculo de
las raíces cuadradas, sobre todo desde la popularización de las calculadoras, ha
sido progresivamente olvidado por la mayoría de la gente, y además casi todo el
mundo lo recuerda como un método muy farragoso. Reconozco que en una sociedad en la cual cada día
se dispone de más
medios para tener una vida confortable el uso de las calculadoras es muy lógico,
pero hasta el punto de no recordar
o no saber hacer ciertas operaciones de cálculo, me parece excesivo...
Recordaré ahora brevemente como se calculan las raíces cuadradas.
Ejemplo: Cálculo
de la raíz de V¯86.492¯ :
· En primer lugar separamos
los números de 2 en 2 comenzando por el final:
V¯8'64'92¯
·
Empezamos por el primer grupo de cifras obtenido, en este caso el 8
· Ahora tenemos que buscar un número
que al elevarlo al cuadrado (o multiplicarlo por sí mismo) sea
8 o se acerque sin pasarse: 2² = 4 y 3² = 9, por tanto,
es el 2
y lo restamos.
·
Bajamos las dos cifras siguientes: 64
V¯8'64'92¯|_2
- 4
|
4
64
· Ahora tenemos
que doblar el resultado (provisional) y añadir un número
por el que también tenemos que multiplicar y hallar el 464 o acercarnos sin
que nos pasemos, es decir:
El doble
de 2 = 4 => 4_ x _ = 464 ? => 49
x 9 = 441
· Lo restamos
y bajamos las dos últimas cifras.
·
Volvemos a repetir este proceso de doblar el resultado y añadir un
número, etc.:
V¯8'64'92¯|_294
- 4
|
4 64 49
x 9 = 441
- 441
23 92 584
x 4 = 2336
-
2336
56 (Resto)
Una vez hecho
este recordatorio, quisiera comentar el origen o demostración de este
procedimiento.
Supongamos
que tenemos un número de dos cifras ab.
Lo podemos
expresar como un binomio (a + b) y su cuadrado será:
(a
+ b)² = a² + 2·a·b + b²
Cuando calculamos el raíz cuadrada en el primer paso lo que hacemos es
restar a²,
por tanto nos queda:
a²
+ 2·a·b + b² - a² =
2·a·b + b²
Sacamos factor común b y obtenemos:
2·a·b
+ b² = (2·a + b) ·
b
Por tanto, el siguiente paso es
doblar el resultado provisional 2·a
y añadir un número b por
el que también tenemos que multiplicar:
(2·a
+ b) · b
Lo cual es exactamente el procedimiento
que hemos visto anteriormente de como calcular una raíz cuadrada.
(índice)

SISTEMA MNEMOTÉCNICO
PARA NÚMEROS
Conozco desde hace unos cuantos años un
interesante sistema de memorizar cadenas de números de cualquier longitud,
se basa en
sustituir las cifras por consonantes y, añadiendo las vocales que se desee (sin
ningún valor numérico), formar palabras
o frases, las cuales, probablemente, serán más fáciles de memorizar.
Crear estas frases puede resultar un poco entretenido, sobre todo al principio, pero con
la práctica se convierte en un pasatiempos divertido, especialmente
si les encontramos un sentido humorístico, etc. y más aún si hacen
referencia a la procedencia del número a memorizar
-un teléfono, un DNI, etc.
Se trata, por tanto,
de un ejercicio de codificación y de descodificación, primero cambiamos
las cifras por consonantes, añadimos vocales (sin ningún valor) y hacemos
palabras, después en el momento que necesitamos recordar el número,
lo volvemos a traducir a cifras.
Este método con un buen entrenamiento permite resultados sorprendentes, a quién no le
gustaría hacer una
exhibición de memoria y dejar boquiabiertos a los amigos recordando cadenas larguísimas de
números .
La selección de las
consonantes que representan a los diferentes números es una cuestión
personal, en cualquier caso, presentaré la que yo mismo hago servir. Dado
que hay más consonantes que dígitos, utilizo
una letra principal y el resto de secundarias, pero esto,
viene bien cuando una cadena numérica tiene un dígito repetido varias
veces o bien para tener más opciones de construir
palabras.
1 = M, X
|
2 = D, J
|
3 = T, LL
|
4 = C, Q, K
|
5 = L, V, F
|
6 = S, G
|
7 = P, Y
|
8 = B, CH
|
9 = N, Ñ
|
0 = R, Z
|
Nada mejor para explicarlo que ver
unos ejemplos auténticos:
Yo iba a un gimnasio
del que nunca olvidaré su número de teléfono:
37 09 20 >>
"Té PeR
a NeDaR"
(como que hay piscina, la relación es clara) ("Ten para nadar")
4.170.062 >> "CoMe
PiZZa
aSaDa"
(el DNI de un buen amigo que trabajó en un restaurante)
Tengo muchísimos ejemplos, lógicamente, de todas
formas reconozco
que todavía no he hecho nunca ninguna exhibición memorística de circo.
Si vosotros queréis probar, pues, ¡¡adelante !!
(índice)

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Autor: Blai Figueras Álvarez
E-mail:
mentaludix@hotmail.com