EXERCICI SOBRE LES CIÈNCIES FORMALS

Busca en el text de la pàgina següent (I.ASIMOV, “El electrón es zurdo y otros ensayos científicos") quines són les tres característiques que ha de tenir un conjunt d'axiomes per a ser acceptable com a fonament d’un sistema teòric:

Durante tres siglos antes de Euclides, que vivió hacia el año 300 a.de J.C., los geómetras griegos habían trabajado en demostrar algún que otro teorema geométrico, hasta llegar a descubrir muchísimos.

Lo que hizo Euclides fue construir con todo ello un sistema. Empezó por ciertas definiciones y suposiciones y luego las aplicó a demostrar unos cuantos teoremas. A base de aquellas definiciones y suposiciones, más los pocos teoremas que tenía ya demostrados, demostraba otros cuantos, y así sucesivamente.

Fue el primero, que nosotros sepamos, que edificó un sistema matemático perfecto, basado en el criterio explícito de que es inútil intentar probarlo todo; que es esencial partir de ciertas cosas que no pueden probarse, pero que pueden admitirse sin pruebas, porque satisfacen la intuición. Tales suposiciones intuitivas, sin pruebas, se llaman axiomas.

Sólo eso era ya una gran conquista intelectual, pero Euclides hizo algo más. Eligió buenos axiomas.

Para apreciar la dificultad de eso, consideremos que exigimos que la lista de axiomas sea completa, es decir, que basten para demostrar todos los teoremas del campo particular del conocimiento que estemos explorando. Mas, al mismo tiempo, no deben ser redundantes; debe ser imposible demostrar todos esos teoremas en cuanto se omita uno solo de los axiomas, o demostrar uno o más de los axiomas apoyándose en los restantes. Por último, los axiomas han de ser consistentes, es decir, que no pueda deducirse de algunos de ellos que una cosa es cierta, y de otros que es falsa.

Estudiemos ahora los axiomas de Euclides. Eran diez y los dividió en dos grupos de cinco. Los del primer grupo los llamó “nociones comunes”, porque son comunes a todas las ciencias, a saber:

• Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre si.
• Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales.
• Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales.
• Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales entre si.
• El todo es mayor que la parte.

Estas “nociones comunes” parecen tan comunes, tan obvias ciertamente, tan de inmediata aceptación intuitiva, tan imposibles de rebatir, que parecen representar la verdad absoluta.

Figuraban en la lista otros cinco axiomas específicamente aplicables a la geometría; y éstos se llamaron más tarde “postulados”:

• Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto cualquiera.
• Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta
• Se puede trazar una circumferencia con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales
• Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos (...) Dada una recta y un punto exterior a ella, por ese punto es posible trazarle a la recta una paralela y sólo una.

ISAAK ASSIMOV, El electrón es zurdo y otros ensayos científicos.