imatge extreta de la web "fantastic
fractals"
El conjunt de Mandelbrot és un fractal que s'obté aplicant una funció iterativa sobre el conjunt dels números complexos. La funció iterativa es del tipus:
on c és un complex qualsevol fix, i el primer número Z es zero. Si apliquem aquesta funció repetidament, (mitjançant algun programa d'ordinador), ens adonem que per a alguns valors de c, el resultat permaneix acotat, mentre que per altres valors tendeix a infinit. En el moment que |Z|>2, podem assegurar que Z tendeix a infinit. El conjunt de Mandelbrot està format per tots els punts c del pla complex que romanen acotats, i que gràficament representem en negre. El problema clau és com determinar si un punt pertany o no al conjunt de Mandelbrot. Tan sols podem fer una exploració aproximada a traves de programes d'ordinador. Assignem un número complexe |c|<2 a cada píxel i el programa calcula un número màxim de iteracions, per exemple 100. Si al finalitzar el procés |Z(100)|<2, llavors considerem que c pertany a Mandelbrot. En cas contrari, li assignem un color diferent segons la iteració en que es comprova que c no pertany a Mandelbrot. El resultat es una estructura altament complexa, especialment a les fronteres, on es posa de manifest la propietat d'auto semblança a mesura que apliquem el zoom i un número superior d'iteracions. Alguns matemàtics pensen que el conjunt de Mandelbrot no es una invenció de la ment humana, sinó una realitat externa que les persones hem "descobert" mitjançant la informàtica.
Les següents imatges estan calculades amb més iteracions:
|
|
|
imatges extretes de la web
"Mandelbrot and Julia sets (by Fabio Cesari) "
|
|