Consideracions prèvies

• Considerem,ací, les diferents posicions relatives que podem tenir entre dos elements que poden ser rectes o plans. Cal tenir present que aquests dos objectes geomètrics no són finits sinó que la seva extensió és infinita, encara que això no ho podem reflectir en les figures.

  També hem de considerar que dues rectes o dos plans poden ser coincidents (ser de fet el mateix objecte), però tenir diferents elements que els defineixin; i, equivalentment, les seves expressions algebraiques ser diferents.

Entre dues rectes

• Dues rectes a l’espai poden estar situades de forma relativa en una de les quatre posicions següents:

Rectes coincidents	Rectes paral·leles
Rectes que es tallen en un punt	Rectes que es creuen

Per distingir aquests casos si només tenim les expressions analítiques de les rectes ens podem fixar en les consideracions següents:

en els dos primers casos els vectors directors de les rectes són paral·lels (i, per tant, proporcionals). Un vector construït d'un punt de r fins un punt de s és paral·lel als anteriors si les rectes són coincidents; i és independent dels vectors directors si les rectes són paral·leles.

En els dos darrers casos els vectors directors no són paral·lels. Quan les rectes es tallen, un vector fet des d'un punt de r fins un punt de s és linealment dependent dels vectors directors; i en el cas que les rectes es creuen, els tres vectors són linealment independents.

Exercici 1: Troba, utilitzant la , la posició relativa dels parells de rectes següents:

a) r: P=(3,2,5), v=(-5,1,-1) s: Q=(1,4,2), u=(5,-1,1) .

b) r: P=(0,-3,4), v=(0,1,1) s: Q=(2,3,-5), u=(-1,1,1) .

c) r: P=(3,1,5), v=(2,-1,0) s: Q=(-1,3,5), u=(-6,3,0) .

d) r: P=(1,-2,-1), v=(-1,3,1) s: Q=(4,0,0), u=(3,2,1) .

Entre una recta i un pla

• Aquests dos elements poden estar situats de les tres formes següents:

En els dos primers casos el vector director de la recta i el vector normal al pla són perpendiculars; si la recta està continguda en el pla, qualsevol punt de la recta també pertany al pla. En el tercer cas els dos vectors anteriors formen qualsevol angle no recte.

Exercici 2: Troba, utilitzant la , la posició relativa dels parells recta-pla següents:

a) r: P=(3,-1,5), v=(0,1,1) p: Q=(-1,0,0), u=(3,1,1), u'=(1,4,1) .

b) r: P=(2,1,0), v=(3,-1,1) p: Q=(2,-1,0), u=(0,-2,1), u'=(6,0,1) .

c) r: P=(5,0,1), v=(3,-1,1) p: Q=(2,-1,1), u=(3,1,0), u'=(0,2,-1) .

Entre dos plans

• Dos plans poden tenir les posicions relatives de les figures següents:

En els dos primers casos tenim els vectors normals als plans paral·lels; si els plans són coincidents un punt d'un dels plans també pertany a l'altre pla. En el tercer cas, aquests vectors formen qualsevol altre angle.

Exercici 3: Troba, utilitzant la , la posició relativa dels parells de plans següents:

a) p: P=(1,1,-1),v=(-3,1,0),u=(-2,1,1) p': P'=(1,1,1),v'=(0,1,3),u'=(1,0,1) .

b) p: P=(0,-1,2),v=(4,0,-1),u=(3,1,0) p': P'=(1,-2,1),v'=(-1,1,1),u'=(0,4,3) .

c) p: P=(-1,2,1),v=(-1,0,1),u=(1,1,-2) p': P'=(3,0,-1),v'=(2,3,0),u'=(0,-1,2) .