Matemàtiques - 1r BAT - 1r BAT. Funcions. Límits a un punt




    Recorda que, el que cal fer és substituir. Podem tenir tres casos:

    • Que doni un número. ja està.

    • Que doni `k/0=\pm\infty`

    • Que doni `0/0` que és indeterminat (de moment no sabem quant dona, cal treballar més). La regla general és descomposar els polinomis (podem fer servir Ruffini, qui no en sàpiga, clic aquí, i simplificar les fraccions.


1-Calcula. Tots aquest límits estan basats amb la mateixa funció, `f(x)=(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`.

a) `lim_{x\to 0} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`


SOLUCIÓ:
    `lim_{x\to 0} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)= (0^3-5·0^2+6·0)/(0^3-3·0^2+2·0)=0/0`


    `lim_{x\to 0}(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)=lim_{x\to 0}(x(x-2)(x-3))/(x(x-2)(x-1))=lim_{x\to 0}(x-3)/(x-1)=3/1=3`


b) `lim_{x\to 1} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`


SOLUCIÓ:
    `lim_{x\to 1} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)= (1^3-5·1^2+6·1)/(1^3-3·1^2+2·1)=2/0=\infty`


    `lim_{x\to 1^+}(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)=lim_{x\to 1^+}(x-3)/(x-1)=-2/(1'...-1)=((-2)/+)=-\infty`


    `lim_{x\to 1^-}(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)=lim_{x\to 1^+}(x-3)/(x-1)=-2/(0'9...-1)=((-2)/-)=+\infty`


c) `lim_{x\to 2} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`


SOLUCIÓ:
    `lim_{x\to 2} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)= (2^3-5·2^2+6·2)/(2^3-3·2^2+2·2)=0/0`


    `lim_{x\to 2}(x-3)/(x-1)=(-1)/1=-1`


d) `lim_{x\to 3} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`


SOLUCIÓ:
    `lim_{x\to 3} (x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)= (3^3-5·3^2+6·3)/(3^3-3·3^2+2·3)=0/6=0`



Per ajudar a en entendre tot plegat mostrem la gràfica d'aquesta funció:










2-Calcula.

    a) `lim_{x\to 5} (x-sqrt(3x+10))/(x^2-25)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 5} (x-sqrt(3x+10))/(x^2-25)=(5-sqrt(3·5+10))/(5^2-25)=(5-5)/(25-25)=0/0`


      `lim_{x\to 5} (x-sqrt(3x+10))/(x^2-25)=lim_{x\to 5} ((x-sqrt(3x+10))·(x+sqrt(3x+10)))/((x-5)·(x+5)·(x+sqrt(3x+10)))=lim_{x\to 5} (x^2-(3x+10))/((x-5)·(x+5)·(x+sqrt(3x+10)))=`


      `lim_{x\to 5} (x^2-3x-10)/((x-5)·(x+5)·(x+sqrt(3x+10)))=lim_{x\to 5} ((x-5)·(x+2))/((x-5)·(x+5)·(x+sqrt(3x+10)))=lim_{x\to 5} (x+2)/((x+5)·(x+sqrt(3x+10)))=`


      `(5+2)/((5+5)·(5+sqrt(3·5+10)))=7/((10·(5+sqrt(25))))=7/(10·(5+5))=7/100`




    b) `lim_{x\to 0} ((x+1)/(6x^2)-(2x+3)/(3x^3))`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 0} ((x+1)/(6x^2)-(2x+3)/(3x^3))=((0+1)/(6·0^2)-(2·0+3)/(3·0^3))=1/0-3/0=\infty-\infty`


      `lim_{x\to 0} ((x+1)/(6x^2)-(2x+3)/(3x^3))=lim_{x\to 0} (((x+1)·x)/(6x^3)-(2·(2x+3))/(6x^3))=lim_{x\to 0} (x^2-x-4x-6)/(6x^3)=lim_{x\to 0} (x^2-5x-6)/(6x^3)=(-6)/0=\infty`


      `lim_{x\to 0^-} ((x+1)/(6x^2)-(2x+3)/(3x^3))=lim_{x\to 0^-} (x^2-5x-6)/(6x^3)=(-6)/(-)=+\infty`


      `lim_{x\to 0^+} ((x+1)/(6x^2)-(2x+3)/(3x^3))=lim_{x\to 0^+} (x^2-5x-6)/(6x^3)=(-6)/(+)=-\infty`



    c) `lim_{x\to 1} ((2x+3)/(x^2-1):(2x+2)/(x-1))`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 1} ((2x+3)/(x^2-1):(2x+2)/(x-1))= ((2·1+3)/(1^2-1):(2·1+2)/(1-1))=1/0:1/0=0/0`


      `lim_{x\to 1} ((2x+3)/(x^2-1):(2x+2)/(x-1))= lim_{x\to 1} ((2x+3)·(x-1))/((x^2-1)·(2x+2))= lim_{x\to 1} ((2x+3)·(x-1))/((x-1)·(x+1)·(2x+2))= lim_{x\to 1} (2x+3)/((x+1)·(2x+2))= 5/8`



    d) `lim_{x\to -1} (x^2+2x+1)/(x^3+3x^2+3x+1)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to -1} (x^2+2x+1)/(x^3+3x^2+3x+1)=((-1)^2+2·(-1)+1)/((-1)^3+3·(-1)^2+3·(-1)+1)=0/0`


      `lim_{x\to -1} (x^2+2x+1)/(x^3+3x^2+3x+1)=lim_{x\to -1} (x+1)^2/(x+1)^3=lim_{x\to -1} 1/(x+1)=1/0=\infty`


      `lim_{x\to -1^-} (x^2+2x+1)/(x^3+3x^2+3x+1)=lim_{x\to -1^-} 1/(x+1)=1/(-1'..+1)=1/(-)=-\infty`


      `lim_{x\to -1^+} (x^2+2x+1)/(x^3+3x^2+3x+1)=lim_{x\to -1^+} 1/(x+1)=1/(-0'9..+1)=1/(+)=+\infty`



    e) `lim_{x\to 0} ((2x^3-5x^2+7x)/(3x^2-4x))^((8x^2+x)/(3x))`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 0} ((2x^3-5x^2+7x)/(3x^2-4x))^((8x^2+x)/(3x))=((2·0^3-5·0^2+7·0)/(3·0^2-4·0))^((8·0^2+0)/(3·0))=(0/0)^(0/0)`. Ui quina por.


      `lim_{x\to 0} ((2x^3-5x^2+7x)/(3x^2-4x))^((8x^2+x)/(3x))=lim_{x\to 0} (((2x^2-5x+7)x)/((3x-4)·x))^(((8x+1)·x)/(3x))=lim_{x\to 0} ((2x^2-5x+7)/(3x-4))^((8x+1)/3)=(-7/4)^(1/3)`



    f) `lim_{x\to 2} ((x^3+4)/(x^2+2x+2))^(1/x)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 2} ((x^3+4)/(x^2+2x+2))^(1/x)=((2^3+4)/(2^2+2·2+2))^(1/2)=(12/10)^(1/2)=sqrt(6/5)`



    g) `lim_{x\to -2} (3x^2-9x-30)/(16+2x^3)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to -2} (3x^2-9x-30)/(16+2x^3)=(3·(-2)^2-9·(-2)-30)/(16+2·(-2)^3)=0/0`


      `lim_{x\to -2} (3x^2-9x-30)/(16+2x^3)=lim_{x\to -2} (3·(x+2)·(x-5))/(2·(x+2)·(x^2-2x+4))=lim_{x\to -2} (3(x-5))/(2(x^2-2x+4))=(-21)/24=(-7)/8`


    h) `lim_{x\to 3} (x^3-2x^2-3x)/(27-x^3)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to 3} (x^3-2x^2-3x)/(27-x^3)=(3^3-2·3^2-3·3)/(27-3^3)=0/0`


      `lim_{x\to 3} (x^3-2x^2-3x)/(27-x^3)=lim_{x\to 3} (x·(x+1)·(x-3))/((x-3)·(-x^2-3x-9))=lim_{x\to 3} (x·(x+1))/(-x^2-3x-9)=12/(-27)=(-4)/9`


    i) `lim_{x\to -3} (3x+9)/(x^3+27)`


    SOLUCIÓ:
      `lim_{x\to -3} (3x+9)/(x^3+27)=(3·(-3)+9)/((-3)^3+27)=0/0`


      `lim_{x\to -3} (3x+9)/(x^3+27)=lim_{x\to -3} (3·(x+3))/((x+3)·(x^2-3x+9))=lim_{x\to -3} 3/(x^2-3x+9)=3/((-3)^2-3·(-3)+9)=3/27=1/9`






    Un cop feta la correcció, contesta el següent formulari: