7-a-Discuteix i resol si té solució (pàg. 228): $$ \begin{cases} x-y+z=7\\ x+y-z=3\\ -x+y+z=1 \end{cases} $$ SOLUCIÓ: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&7\\ 1&1&-1&3\\ -1&1&1&1 \end{array}\right) $$ Cal calcular el rang de la matriu del sistema. El primer element és `1\ne0` rang `M>=1`: Calculem el determinant de la matriu `2·2` que orla a aquest element. $$ \begin{vmatrix} 1&-1\\\ 1&1 \end{vmatrix}=1·1-(1·(-1))=1+1=2\ne0 => \text{rang}>=2 $$ Calculem el determinant de la matriu del sistema `3·3`: $$ \begin{vmatrix} 1&-1&1\\\ 1&1&-1\\\ -1&1&1 \end{vmatrix}= 1·1·1+(-1)·(-1)·(-1)+1·1·1-[(-1)·1·1+1·(-1)·1+1·(-1)·1]3+3=6\ne0=> $$ Rang de la matriu del sistema 3. La matriu ampliada és `3·4 =>` rang no pot ser `>3 =>` Rang ampliada`=3`. Tenim:
8-a-Discuteix. $$ \begin{cases} 2x-y+z=0\\ 3x+2y-4z=1\\ x+3y-5z=4 \end{cases} $$ SOLUCIÓ: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2&-1&1&0\\ 3&2&-4&1\\ 1&3&-5&4 \end{array}\right) $$ Cal calcular el rang de la matriu del sistema. El primer element és `2\ne0` rang `M>=1`: Calculem el determinant de la matriu `2·2` que orla a aquest element. $$ \begin{vmatrix} 2&-1\\\ 3&2 \end{vmatrix}=2·2-(-1)·3=4+3=7\ne0 => \text{rang}>=2 $$ Calculem el determinant de la matriu del sistema `3·3`: $$ \begin{vmatrix} 2&-1&1\\\ 3&2&-4\\\ 1&3&-5 \end{vmatrix}= $$ `2·2·(-5)+(-1)·(-4)·1+3·3·1-[1·2·1+2·3·(-4)+3·(-1)·(-5)]=0=>` Rang de la matriu del sistema 2. Per calcular el rang de la matriu ampliada calculem del determinant de: $$ \begin{vmatrix} 2&-1&0\\\ 3&2&1\\\ 1&3&4 \end{vmatrix}= $$ `2·2·4+(-1)·1·1+3·3·0-[1·2·0+2·3·1+3·(-1)·4] =21\ne 0 =>` rang matriu ampliada és 3
El problema no ho demana, però que hagués passat si l'haguessim resolt, per exemple, per Gauss:
+x +3y -5z = +4 +3x +2y -4z = +1 +2x -y +z = 0 Multipliquem la 1ª equació per (-3) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 . +x +3y -5z = +4 0x -7y +11z = -11 +2x -y +z = 0 Multipliquem la 1ª equació per (-2) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +3y -5z = +4 0x -7y +11z = -11 0x -7y +11z = -8 Multipliquem la 2ª equació per 7 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per (-7) . +x +3y -5z = +4 0x -7y +11z = -11 0x 0y 0z = -21 La 3ª equació té una contradicció. El sistema no té solucions. SISTEMA INCOMPATIBLE. 23-(pàg 241) L'edat d'en Pere és el doble que la Maria. fa 7 anys la suma de les edats era igual a l'edat actual d'en Pere. Troba les dues edats. SOLUCIÓ:
y = edat de la Maria $$ \begin{cases} x=2y\\ x-7 + y-7 = x \end{cases} $$ \begin{cases} x=2y\\ y=14 \end{cases} $$ \begin{cases} x=28\\ y=14 \end{cases} $$ 21-La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba l'edat de cadascuna d'elles si saps que la del mig té 10 anys més que la més petita, i que la més gran té tans anys com les altres dues juntes. SOLUCIÓ:
y = edat del mig z = edat gran \begin{cases} x+y+z=100\\ y=x+10\\ z=x+y \end{cases} Per substitució seria molt més fàcil, però ho faig per Gauss per que en veieu més. \begin{cases} x+y+z=100\\ -x+y=10\\ -x-y+z=0 \end{cases}
-x -y +z = 0 -x +y 0z = +10 +x +y +z = +100 Canviat l'ordre de les equacions: 1ª, 3ª. +x +y +z = +100 -x +y 0z = +10 -x -y +z = 0 Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 . +x +y +z = +100 0x +2y +z = +110 -x -y +z = 0 Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +y +z = +100 0x +2y +z = +110 0x 0y +2z = +100 Multipliquem la 3ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 2 . +x +y +z = +100 0x +4y 0z = +120 0x 0y +2z = +100 Multipliquem la 3ª equació per (-1) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 . +2x +2y 0z = +100 0x +4y 0z = +120 0x 0y +2z = +100 Multipliquem la 2ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 4 . +8x 0y 0z = +160 0x +4y 0z = +120 0x 0y +2z = +100 Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita. +x 0y 0z = +20 0x +y 0z = +30 0x 0y +z = +50 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT. Solució: x = +20 y = +30 z = +50 Per substitució: \begin{cases} x+y+z=100\\ y=x+10\\ z=x+y \end{cases} \begin{cases} x+y+z=100\\ y=x+10\\ z=x+x+10 = 2x+10 \end{cases} `4x=80` `x=20` `y=x+10=20+10=30` `z=2x+10=2·20+10=50` \begin{cases} x=20\\ y=30\\ z=50 \end{cases} 22-(pàg 241) En un nombre de 3 xifres la suma d'aquests val 10. La xifra de les desenes és 3, i quan s'inverteix l'ordre d'aquestes xifres s'obté un altre nombre que exedeix el primer en 495 unitgats. Troba aquest nombre. SOLUCIÓ: Recordem què vol dir un nombre de 3 xifres i el nombre que resulta d'invertir l'ordre. Siposem el nombre 347, el nombre invertit és el 743. I 347 vol dir, 3·100+4·10+7. Per la qual cosa si d'un nombre desconeixem les seves 3 xifres, i aquestes són x, y i z. El nombre s'esciuria: `100x+10y+z` i el nombre invertit `100z+10y+x`. I ara ja podem plantejar l'equació. \begin{cases} x+y+z=10\\ y=3\\ 100x+10y+z+495=100z+10y+x \end{cases} Si substituim la `y=3` ens queda un sistema de dos equacions amb dues incògnites: \begin{cases} x+3+z=10\\ 100x+30+z+495=100z+30+x \end{cases} \begin{cases} x+z=7\\ 99x-99z=-495 \end{cases} Podem fer una reducció, de les de sempre, multiplicant per `99` la primera equació. \begin{cases} 99x+99z=693\\ 99x-99z=-495 \end{cases} \begin{cases} 198x=198\\ x=1\\ 1+z=7\\ z=6 \end{cases} \begin{cases} x=1\\ y=3\\ z=6 \end{cases} Per la qual cosa el nombre buscat és el `136` |