DFT - 4 valors
La sèrie de Fourier o desenvolupament de Fourier d'una funció f(x) és defineix:

`f(x)=a_o + \sum_{n=1}^\infty[a_n cos((npix)/l)] + b_n sin((npix)/l)]`

On els coeficients de Fourier `a_n` i `b_n` es calculan:

`a_n = 1/l\int_-l^l f(x)·cos((npix)/l) dx` i `b_n = 1/l\int_-l^l f(x)·sin((npix)/l) dx`

On `2l` és el període de la funció

1-Si la funció és discreta i suposem que cada període té `4` valors, `{f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=-1}`

L'anterior expressió queda:

`a_n=1/2\sum_{k=0}^3 f(k)·cos((npi k)/2)` i `b_n=1/2\sum_{k=0}^3 f(k)·sin((npi k)/2)`

O sigui:

`a_1=1/2\sum_{k=0}^3 f(k)·cos((pi k)/2)` i `b_1 = 1/2\sum_{k=0}^3 f(k)·sin((pi k)/2)`

`a_1, b_1`:
`a_1=1/2[0·cos((pi·0)/2)+1·cos((pi·1)/2)+0·cos((pi·2)/2)+(-1)·cos((pi·3)/2)]`

i

`b_1 = 1/2[0·sin((pi·0)/2)+1·sin((pi·1)/2)+0·sin((pi·2)/2)+(-1)·sin((pi·3)/2)]`

`=>`

`a_1=1/2[0·1+1·0+0·(-1)+(-1)·0]=0`

i

`b_1 = 1/2[0·0+1·1+0·0+(-1)·(-1)]=1/2·2=1`

`a_2, b_2`:
`a_2=1/2[0·cos((2pi·0)/2)+1·cos((2pi·1)/2)+0·cos((2pi·2)/2)+(-1)·cos((2pi·3)/2)]`

i

`b_2 = 1/2[0·sin((2pi·0)/2)+1·sin((2pi·1)/2)+0·sin((2pi·2)/2)+(-1)·sin((2pi·3)/2)]`

`=>`

`a_2=1/2[0·1+1·(-1)+0·0+(-1)·(-1)]=0`

i

`b_2 = 1/2[0·0+1·0+0·0+(-1)·0]=1/2·0=0`

`a_3, b_3`:
`a_3=1/2[0·cos((3pi·0)/2)+1·cos((3pi·1)/2)+0·cos((3pi·2)/2)+(-1)·cos((3pi·3)/2)]`

i

`b_3 = 1/2[0·sin((3pi·0)/2)+1·sin((3pi·1)/2)+0·sin((3pi·2)/2)+(-1)·sin((3pi·3)/2)]`

`=>`

`a_3=1/2[0·1+1·0+0·(-1)+(-1)·0]=0`

i

`b_3 = 1/2[0·0+1·(-1)+0·0+(-1)·(-1)]=1/2·0=0`

`a_4, b_4`:
`a_4=1/2[0·cos((4pi·0)/2)+1·cos((4pi·1)/2)+0·cos((4pi·2)/2)+(-1)·cos((4pi·3)/2)]`

i

`b_4 = 1/2[0·sin((4pi·0)/2)+1·sin((4pi·1)/2)+0·sin((4pi·2)/2)+(-1)·sin((4pi·3)/2)]`

`=>`

`a_4=1/2[0·1+1·1+0·1+(-1)·1]=0`

i

`b_3 = 1/2[0·0+1·0+0·0+0·0]=0`

Resultat final: `a_n={0,0,0,0}` i `b_n={1,0,0,0}` i la sèrie de Fourier queda (ja que tots els altres coeficients del sumatori són `0`:

`f(x)=1·sin((pix)/2)=sin((pix)/2)`

Podem comprovar fàcilment que surt la funció inicial calculant:

`f(0)=sin((pi·0)/2)=sin(0)=0`

`f(1)=sin((pi·1)/2)=sin(pi/2)=1`

`f(2)=sin((pi·2)/2)=sin(pi)=0`

`f(3)=sin((pi·3)/2)=sin((3pi)/2)=-1`