DFT exponencial complexa - 4 valors La sèrie de Fourier o desenvolupament de Fourier d'una funció f(x) versió exponencial complexa es defineix: `f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty F(n)·e^((i2pinx)/N)` On els coeficients de Fourier `F(n)` es calculen: `F(n)=1/T_p\int_{-T_p/2}^(T_p/2) f(x)e^((-i2pikn)/N) dx` Que en el cas discret es converteix: `F(n)=1/N\sum_{k=0}^(N-1) f(k)e^((-i2pikn)/N)` 1-Si la funció és discreta i suposem que cada període té `4` valors, `{f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=-1}` L'anterior expressió queda: `F(n)=1/4\sum_{k=0}^3 f(k)e^((-i2pikn)/4)` `F(n)=1/4[f(0)e^((-i2pi·0·n)/4)+f(1)e^((-i2pi·1·n)/4)+f(2)e^((-i2pi·2·n)/4)+f(3)e^((-i2pi·3·n)/4)]` `F(n)=1/4[0·e^((-i2pi·0·n)/4)+1·e^((-i2pi·1·n)/4)+0·e^((-i2pi·2·n)/4)-1·e^((-i2pi·3·n)/4)]` `F(n)=1/4[1·e^((-i2pi·1·n)/4)-1·e^((-i2pi·3·n)/4)]` `F(n)=1/4[e^((-i2pi·1·n)/4)-e^((-i2pi·3·n)/4)]` `F(0)=1/4[e^((-i2pi·1·0)/4)-e^((-i2pi·3·0)/4)]=1/4[e^(-0)-e^(-0)]=1/4[1-1]=0` `F(1)=1/4[e^((-i2pi·1·1)/4)-e^((-i2pi·3·1)/4)]=1/4[e^((-ipi)/2)-e^((-i3pi)/2)=cos(pi/2)-isin(pi/2)-cos((3pi)/2)+isin((3pi)/2)]=1/4[0-i·1-0+i(-1)]=-(2i)/4=-i/2` `F(2)=1/4[e^((-i2pi·1·2)/4)-e^((-i2pi·3·2)/4)]=1/4[e^((-ipi))-e^(-i3pi)]=1/4[cos(pi)-isin(pi)-cos(3pi)+isin(3pi)]=1/4[-1-i·0-(-1)+i·0]=0` `F(3)=1/4[e^((-i3pi)/2)-e^((-i9pi)/2)]=1/4[cos((3pi)/2)-isin((3pi)/2)-cos((9pi)/2)+isin((9pi)/2)=1/4[0+i-0+i]]=1/4[2i]=i/2` La sèrie de Fourier queda: `f(x)=\sum_{n=0}^3 F(n)·e^((i2pinx)/4)` Podem comprovar fàcilment que surt la funció inicial calculant: `f(x)= 0·e^((i2pi0x)/4)-i/2·e^((i2pi1x)/4)+ 0·e^((i2pi2x)/4)+ i/2·e^((i2pi3x)/4)` `f(x)= -i/2·e^((ipix)/2)+ i/2·e^((i3pix)/2)` `f(0)= -i/2·e^((ipi0)/2)+ i/2·e^((i3pi0)/2)=-i/2·e^(i0)+ i/2·e^(ipi0)=-i/2[cos(0)+isin(0)]+i/2[cos(0)+isin(0)]=-i/2+0+i/2+0=0` `f(1)= -i/2·e^((ipi1)/2)+ i/2·e^((i3pi1)/2)=-i/2·e^((ipi)/2)+ i/2·e^((i3pi)/2)=-i/2[cos(pi/2)+isin(pi/2)]+i/2[cos((3pi)/2)+isin((3pi)/2)]=-i/2[0+i]+i/2[0-i]=0+1/2+0+1/2=1` `f(2)= -i/2·e^((ipi2)/2)+ i/2·e^((i3pi2)/2)=-i/2·e^((ipi)/2)+ i/2·e^(i3pi)=-i/2[cos(pi)+i/2sin(pi)]+i/2[cos(3pi)+isin(3pi)]=-i/2[-1+i·0]+i/2[-1-i·0]=i/2+0-i/2+0=0` `f(3)= -i/2·e^((ipi3)/2)+ i/2·e^((i3pi3)/2)=-i/2·e^((i3pi)/2)+ i/2·e^((i9pi)/2)=-i/2[cos((3pi)/2)+isin((3pi)/2)]+i/2[cos((9pi)/2)+isin((9pi)/2)]=-i/2[0+i·(-1)]+i/2[0-i·(-1)]=0-1/2+0-1/2=-1`