Exercicis
|
Realitza els exercicis indicats amb ajut de les construccions.
1. De les teves investigacions, emplena la següent taula:
n
|
d
|
polígon
regular resultant
|
5
|
1
|
pentàgon
regular
|
5
|
2
|
pentàgon
estrellat (estrella pitagòrica o pentagrama mísitc)
|
6
|
1
|
hexàgon
regular
|
6
|
2
|
triangle
|
6
|
3
|
radis
|
.....
|
.....
|
.....
|
17
|
.....
|
.....
|
Indica tots els que són polígons regulars d'entre els que no superen els 17 costats.
2. Quants costats té un polígon
(n,d) ?
3. Quantes voltes es donen al voltant del polígon incial fins que s'acaba
la construcció d'un polígon (n,d) ?
4. Són (n,d) i (n,n-d) el mateix polígon? En què es diferencien?
5. Quantes interseccions de costats es produeixen en un polígon (n,d);
és a dir, quants punts dobles té?
6. Podríen obtenir-se tots
els polígons estrellats si demanem que d < n/2 ?
7.Quina relació s'ha de verficar entre els números naturals n
i d per tal que pugui formar-se el polígon (n,d) ? Investiga els següents
supòsits:
8. En
geometria un polígon regular de n costats es definieix com la figura
geomètrica de n costats i n angles iguals, podríes donar una definició
d'aquest tipus per al polígon estrellat (n,d) ?
9. Una estrella està formada per diversos polígons convexos o
bé per diferents polígons estrellats. Quants costats té?
Quants polígons formen una estrella? Prova diferents combinacions de
n i d, i dóna una resposta general.
10.En la construcció de corbes per envolupants, investiga les figures
que pots obenir si uneixes:
11.Quant mesura cadascun dels angles
centrals d'un polígon estrellat? Pots trobar una fórmula general?
12.Determina el valor de l'angle del vèrtex segons els valors de n i
d.
n
|
d
|
angle central
|
angle extern
|
angle del
vèrtex
|
5
|
2
|
.....
|
.....
|
.....
|
7
|
2
|
.....
|
.....
|
.....
|
7
|
3
|
.....
|
.....
|
.....
|
8
|
3
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
n
|
d
|
.....
|
.....
|
.....
|
13. Determineu el valor de l'angle
en la punta de l'estrella segons els valors de n i d.
14.Pots observar que quan deixem n fix segons s'incrementa d el polígon
canvia la seva forma fent-se més o menys punxegut. Intenta descriure
aquest comportament segons els valors de d i n.
15. Si a1, ... , ak són
els factors primers del nombre n, el nombre N de polígons estrellats
interns construïbles a partir del polígon regular de n costats (aquest
inclós) vé donat per:
(és la meitat de l'indicador d'Euler de n). Verifica la validesa de la
fórmula en els casos n = 3, ..., 12.
16.Construeix el següent fractal: a partir d'un quadrat i dividint cada costat en tres parts crea una reixa de 3 per 3 de la que has d'extreure el quadrat central, repetint el procés amb els quadrats que et resten obtens el fractal anomenat "tapís de Sierpinski".
17.Contesta les següents preguntes relacionades amb el triangle de Sierpinski.
18.De forma semblant als quadrats màgics poden construir-se altres figures màgiques.