|
Polígons
estrellats
|
A partir d'un polígon regular de n costats es poden construir formes estrellades, que es classifiquen en dues categories: polígons estrellats i estrelles.
El pentàgon regular (5) l'hem
obtingut unint naturalment els vèrtexs correlativament de 1-en-1. Què
succeirà si els unim de 2-en-2? En aquest cas obtenim el pentàgon
estrellat, anomenat també pentagrama místic, el mateix
que els babilonis i pitagòrics utilitzaven com a símbol de significat
especial.
En general, si unim els n vèrtexs d'un n-àgon regular correlativament
de d-en-d, després de donar algunes voltes al voltant del polígon,
passarem per tots els vèrtexs i arribarem al punt de sortida només
en determinades condicions. En els casos en què això passi, el
polígon creuat així obtingut és el polígon
regular estrellat (n,d). Si d = 1, no hi ha estrella, i tenim el polígon
regular ordinari. Si d>1, els costats es creuen uns amb altres, formant l'estrella;
però els punts on es creuen no compten com a vèrtexs. Aquests
són els anomenats punts dobles del polígon. Al nombre de
voltes d que cal donar al voltant del polígon per tal de dibuixar els
n costats i tornar al punt de sortida, s'anomena densitat del polígon.
El pentagrama místic correspon al polígon (5,2) de densitat 2;
semblantment, els polígon (13) i (19,7) tenen densitat 1 i 7 respectivament.
Ara bé, quina relació
s'ha de complir entre els números naturals n i d per tal de poder formar-se
el polígon estrellat de n vèrtexs units de d-en-d ? És
igual unir vèrtexs de d-en-d que fer-ho de n-d-en-n-d; és a dir,
de d-en-d però en sentit contrari?