CONTINUITAT
La idea que cal tenir de funció contínua és la de que es pot dibuixar d'un sol traç.
Analitzem gràfiques de funcions polinòmiques.
Canvia el polinomi i veuràs diferents exemples.
Quina conclusió n'extreus?
Analitzem ara tres exemples diferents de funcions racionals
Què observes?
Conclusió: Les funcions polinòmiques són sempre contínues. En canvi, les racionals poden ser-ho o no. En tot cas el punt de discontinuïtat estarà situat en el punt que hem tret del domini.
Definició:
Una funció es contínua en un punt x = a si es verifiquen les tres condicions següents:
1. Existeix f(a)
2. Existeix el lim f(x) quan la x s'acosta a a i és finit
3. Aquest límit coincideix amb f(a)
Si no es compleix alguna d'aquestes condicions direm que la funció és discontínua en x = a
Tipus de discontinuitats
En el primer exemple la funció és discontínua en x = 1 perquè no existeix f(1) i els límits laterals no coincideixen. Mira la següent finestra i abans d'activar-la, intenta entendre-la.
En el segon exemple la funció és contínua per qualsevol valor de x perquè el domini són tots els reals.
En el tercer exemple f(1)= 0/0; si descomposem el numerador obtenim (x-1)(x+1) i el terme x-1 es simplifica amb el denominador. Per tant, hi ha una discontinuitat evitable en x = 1. La calculadora Wiris no detecta les discontinuïtats d'aquest tipus.
Un altre exemple de discontinuïtat evitable i a més asimptòtica podria ser