|
Sumari
Un cop acabat aquest primer mòdul és un bon moment per
reflexionar sobre la geometria euclidiana i la trasposició que n’efectua
Cabri-Géométre.
La geometria euclidiana requereix quatre eines de treball:
-
Un pla homogeni, on totes les posicions són equivalents (a diferència
d'un pla coordenat)
-
Un llapis o punter que permeti marcar punts en el pla
-
Un regle per traçar rectes i segments.
-
Un compàs per traçar circumferències i arcs.
Dins l'ambient que crea el programa Cabri-Géométre aquestes
quatre eines estan presents:
-
El pla és la pantalla.
-
El llapis és el punter associat al ratolí, que apareix a
les eines dels grups Punts, Rectes i Corbes
-
El regle està incorporat a les eines Recta, Semirecta,
Segment,
Triangle i Polígon del grup Rectes.
-
El compàs està incorporat a les eines Circumferència
i Arc del grup Corbes.
Cabri-Géométre conté, doncs, la geometria euclidiana
del pla. Però també dues addicions:
-
La possibilitat (amb limitacions de caràcter pràctic) de
mesurar segments i angles. Aquesta característica ja està
incorporada a la mentalitat de tot practicant actual de la geometria i
la converteix en una geometria mètrica.
-
La possibilitat de desplaçar els objectes per les posicions del
pla. Aquesta característica no és nova: ja havia estat considerada
per Arquímedes. Per això la geometria del programa és
una geometria dinàmica.
Algunes precisions sobre les eines
La geometria coneix tres modalitats de regle: el regle d'un sol costat
no graduat, el regle de dos costats no graduat, i el regle graduat.
La geometria coneix tres modalitats de compàs: el col·lapsable
o euclidià (que només permet traçar arcs i circumferències),
el no col·lapsable (que a més a més permet transportar
distàncies), i el compàs rígid (d'amplitud fixada).
Euclides, i amb ell el gruix dels geòmetres grecs i dels seus
successors, s'han mantingut dins de l'anomenada "restricció platònica":
només es pot emprar el regle d'un sol costat no graduat i el compàs
col·lapsable. És el mateix Euclides qui mostra com alleugerir
la restricció sobre el compàs, i que el col·lapsable
i el no col·lapsable són equivalents.
Des del segle XVII, i amb predilecció durant el segle XIX, s’ha
estudiat quines noves restriccions poden introduir-se en les eines de la
geometria euclidiana.
Els resultats principals són:
-
Les construccions euclidianes no poden fer-se exclusivament amb el regle:
per exemple, només amb regle és impossible traçar
una paral·lela a una recta.
-
Les construccions euclidianes poden fer-se amb el regle sol, si a més
a més tenim una circumferència i el seu centre. És
a dir, el compàs és imprescindible, però pot emprar-se
només una vegada. Aquest resultat es deu a Steiner i Poncelet (segle
XIX). Fins i tot la circumferència única pot substituir-se
per un arc (Severi).
-
Les construccions euclidianes poden fer-se exclusivament amb el compàs,
suposant una recta coneguda a partir de dos punts. El regle, per tant,
és prescindible. Aquest resultat es deu a Mohr (segle XVII) i Mascheroni
(segle XVIII).
-
El compàs, si ha d'emprar-se tot sol, no pot ser un compàs
rígid, però sí d’obertura fitada inferiorment o superiorment
(Kostovski). És un problema obert si pot ser d’obertura fitada superiorment
i inferiorment.
-
També es poden obtenir els mateixos resultats que amb el regle i
el compàs fent servir alguna d'aquestes eines o conjunts d'eines:
-
El regle de dos costats paral·lels, sense cap compàs
-
El regle i el compàs rígid
-
L'escaire de fuster (un angle recte rígid, sense que formi cap triangle)
-
L'escaire de fuster amb un angle que no sigui recte (agut o obtús)
-
Una peça rígida en forma de quadrat
-
D'altres eines equivalents entre elles, amb menys abast que el regle i
el compàs però amb més que el regle sol, són:
-
El regle i el transportador de distàncies (realitzable físicament
com un compàs sense llapis); aquest transportador de distàncies
pot ser rígid sense que es modifiquin les seves possibilitats
-
El regle i el bisector d'angles (realitzable físicament com un rombe
articulat)
-
El regle i el "canó" (marcador de punts en qualsevol direcció
i a distància fixada d'un punt)
-
I també, i en sentit contrari, es coneix des dels grecs que determinats
conjunts d'eines físicament factibles produeixen més construccions
que el regle i el compàs. El principal d'ells és el regle
graduat, però n'hi ha d'altres com l'ús de còniques, el trisector
de Glotin, l'ús de cordes (la "geometria de la corda") i l'origami
o plegat de paper.
|