En aquest mòdul s’entra de ple en les formulacions de geometria mètrica, ja que la proporcionalitat de segments és una igualtat entre els quocients de longituds. Ara bé, la mesura de longituds en Cabri-Géomètre no és gaire precisa, i el càlcul de quocients, tot i que pot fer-se numèricament amb la calculadora, no és suficient per donar una imatge prou sensible de la proporcionalitat.

Per sort, la proporcionalitat pot ser visualitzada d’altres formes, encara que cap d’elles és la ideal. En aquesta pràctica s’ha optat per una imatge visual derivada dels triangles semblants (que, en el fons, en són una conseqüència).
 

Activitats

1. Segments proporcionals

Obriu la figura PROP1.

A la part superior veureu quatre segments AB, BC, DE i EF. A la part inferior hi ha els mateixos segments, però posats de forma diferent.

Ajusteu els segments fins que les hipotenuses dels triangles semblin en línia recta. Us pot ajudar traçar una recta o un segment que uneixi els vèrtexs C i F.

Llavors els quatre segments són proporcionals: AB i BC són proporcionals a DE i EF.
 

Els quatre segments AB, BC, DE i EF són proporcionals si

 Podeu comprovar-ho en la figura, prenent les longituds dels quatre segments i calculant els dos quocients amb l'eina Calcular del grup Mesures.
 

2. Teorema de Tales

Obriu la figura PROP2. Els seus elements tenen el mateix significat que en la figura anterior.
Ajusteu-los perquè siguin proporcionals. Quan ho siguin, traceu els segments AC i BD. Observeu com són aquests segments.

A continuació obriu la figura PROP3 i observeu com són les rectes r, s i t.

Moveu els punts A, B i C i observeu la situació dels triangles de la part superior esquerra. Segur que en treureu una conclusió. És el

Teorema de Tales: quan tres rectes paral·leles tallen a dues rectes qualssevol, els segments que queden en una són proporcionals als segments que queden a l'altra.

El teorema de Tales s’utilitza per dividir un segment en qualsevol nombre de parts iguals. El procediment per fer-ho ve indicat a la figura següent per al cas particular de tres parts:

Una variant d’aquest procediment és la divisió d’un segment en parts proporcionals a uns altres dos segments. Feu-ho a l’ Exercici 1
 

3. El quart proporcional

Si es coneixen tres de quatre segments proporcionals, és possible obtenir el quart per mitjà del teorema de Tales. Aquest quart segment s’anomena el quart proporcional dels altres tres. L’obtenció del quart proporcional és l’anàleg geomètric de la “regla de tres” aritmètica.

Si dos dels segments no tenen un punt comú, el traçat del quart proporcional es fa més llarg i exigeix emprar el transport de segments. Feu-ho a l’Exercici 2
 

4. La mitjana proporcional

Si a, x, x i b són quatre segments proporcionals, el segment x s’anomena la mitjana proporcional entre a i b.

Si M és un punt del segment AB tal que AM és mitjana proporcional entre AB i MB, direm que M efectua la divisió d’or del segment AB.

Els passos per a la construcció de la divisió d’or d’un segment AB estan a la figura següent:

(1) es traça la perpendicular a AB per B
(2) es marca un punt O sobre aquesta perpendicular de tal manera que OB sigui la meitat d'AB
(3) es traça la circumferència de centre O que passa per B
(4) es determinen els punts C i D en què aquesta circumferència talla la recta AO.
(5) es trasllada el segment AC sobre el segment AB, per determinar el punt M.

El motiu de la correcció d’aquesta figura és: ACB i ABD són semblants (no costa gaire de veure) i per tant AB/AD = AC/AB d’on AB² = AC·(AC+CD) = AC·(AC+AB) = AC²+AC·AB; AB²-AB·AC = AC² o sigui AB·BM = AM².

Numèricament, dos segments estan en proporció d’or si la raó del petit al gran és  .o, recíprocament, la raó del gran al petit és 

Exercici 3
 
 
 

Resum

 

En aquesta pràctica heu d'aprendre: (A) El concepte de segments proporcionals i el seu correlat visual (B) El teorema de Tales i les seves aplicacions. (C) La divisió d'or d'un segment.