Los números naturales $ a $ y $ b $ son tales que $$ Frac{ a + 1 }{ b } + Frac{ b + 1 }{ a } $$ es entero. Demostrar que el máximo común divisor de $ a $ y $b $ no es mayor que $ \sqrt{ a + b } $
Sea $ G $ el baricentro del triángulo $ ABC $. Demostrar que si $$ AB + GC = AC + GB, $$ entonces $ ABC $ es isósceles.
Sean $ a $, $ b $ y $ c $ tres números reales. Se consideran las funciones $$ f(x) = ax^2 + bx + c \quad\hbox{ y }\quad g(x) = cx^2 + bx + a $$ Sabiendo que $$ |f(-1)| \leq 1, \quad |f(0)| \leq 1 \quad\hbox{ y }\quad |f(1)| \leq 1, $$ probar que si $ -1 \leq x \leq 1 $, entonces $ |f(x)| \leq 5/4 $ y $ |g(x)| \leq 2 $