Un cert professor de matemàtiques va escriure a la pissarra un polinomi $ f(x) $ amb coeficients enters i va dir: ``Si al polinomi enlloc de $ x $ hi escrivim l'edat del meu fill, que acaba de fer $ a $ anys, obtenim la igualtat $ f(a)=a $. A més, $ f(0) = p $ és un nombre primer més gran que $ a $.'' Quants anys tenia el fill del professor?
Sigui $ n $ un nombre natural. Trobeu el nombre més gran $ k $ tal que en el conjunt $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ poguem agafar un subconjunt $ A $ de $ k $ nombres que compleixi que si $ x $, $ y $, $ z $ són nombres qualssevol de $ A $, sempre sigui $ x + y \neq z $.
Escollim un nombre natural $ n $ i demanem a $ r $ persones que escriguin un subconjunt de $\{ 1, 2, \ldots, n \}$. Quina és la probabilitat que els $ r $ subconjunts obtinguts siguin disjunts dos a dos?
Sigui $ AB $ el diàmetre d'una circumferència, $ O $ el punt mig d'un dels arcs que van de $ A $ a $ B $ i $ C $ un punt qualsevol de l'arc $ OB $. Dibuixem les rectes $ AC $, $ OC $ i sigui $ D $ la intersecció de $ OC $ amb $ AB $. Sigui $ DE $ perpendicular a $ AD $ que talla $ AC $ en $ E $. Demostreu que els segments $ BD $ i $ DE $ tenen la mateixa longitud.