Al pla definim un sistema de coordenades rectangulars. Calculeu l'àrea del recinte solució del sistema d'inequacions següent: $$ \left.\eqalign{ | \sqrt{3} y - x | & \leq 2x \cr x^2 + y^2 & \leq 2x }\right\} $$
Busqueu els nombres complexos $ \alpha $ tals que els afixos dels nombres $ \alpha $, $ \alpha^2 $, $ \alpha^3 $, $ \alpha^4 $ siguin els vèrtexs d'un trapezi.
Hi ha una fórmula que dóna l'àrea $ A $ d'un triangle del pla que té els vèrtexs situats en punts de coordenades enteres com a funció lineal $ A = aI + bC + dV $ on $ I $ representa el nombre de punts de coordenades enteres que són interiors al triangle; $ C $ el nombre de punts de coordenades enteres que queden situars sobre els costats del triangle i $ V = 3 $ el nombre de vèrtexs de coordenades enteres. Deduïu-la, a partir de l'anàlisi d'alguns exemples, i demostreu-la.
Anomenarem {\sl polígon mixtilini} una regió tancada del pla limitada per {\sl costats} que poden ser segments o arcs de circumferència. Els {\sl angles del polígon mixtilini} es mesuren en graus i són els angles determinats, en cada vèrtex, pels costats (en cas que siguin segments) i les tangents traçades pel vèrtex als costats que són arcs de circumferència. Els {\sl costats del polígon} es mesuren també en graus, de la manera següent: \rightline{\vbox{\hsize0.95\hsize\vskip\parskip \item{$\bullet$}segments: $ 0^{\circ} $ \item{$\bullet$}arcs de circumferència amb la concavitat cap a l'interior del polígon: el nombre de graus que mesura l'arc, comptats positivament \item{$\bullet$}arcs de circumferència amb la concavitat cap a l'exterior del polígon: el nombre de graus que mesura l'arc, comptats negativament }} L'esquema i\l·lustra la manera de mesurar els costats i els angles d'un polígon mixtilini. {\it a)\ }Demostreu que si un polígon té $ n $ costats, els angles són $ A_1 $, $ A_2 $, $ \ldots $, $ A_n $ i els costats $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $, $ \ldots $, $ \alpha_n $ es verifica $$ A_1 + A_2 + \ldots + A_n = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n + (n - 2) \cdot 180^\circ $$ {\it b)\ }Demostreu que si els tres costats d'un {\sl triangle mixtilini} tenen un punt en comú que no és un vèrtex, llavors $ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 0^\circ $. {\it b)\ }Si tenim un {\sl angle mixtilini} $ A $ inscrit en una circumferència, calculeu $ A $ en funció dels costats $ \alpha $, $ \beta $ i $ \gamma $ del triangle que queda determinat a la circumferència.