Si volem demostrar això, algun dels factors a , b , i c haurà de portar per força a la seva vegada els factors 2, 3 i 5 (descomposició factorial de 30) o entre la combinació dels tres els portaran. Partim del teorema de Pitàgoras, que aplicat a aquest triangle es compleix:
Per tant, la suma del quadrat de b i c ha de ser un quadrat perfecte. Analitzarem quin és l'últim dígit dels quadrats de tots els nombres naturals (analitzant, igualment, el seu últim dígit):
Veiem que l'últim dígit del quadrat de qualsevol nombre ha de ser: 0, 1, 9, 4, 6 o 5. Complint el teorema de Pitàgoras, la suma d'aquests nombres
ha d'acabar en:
Si aquesta suma ha de ser el quadrat perfecte d'un nombre natural, les sumes que acabin en 2, 3, 6, 7, i 8 (tenen una x al costat), mai ho podran ser i, per tant, queden descartats. En aquesta taula veiem que els factors 2 i 5 ja hi són inclosos. Dígits que, o parteixen de, o són acabats en : Veiem que totes les combinacions o porten elles mateixes el 2 o el 5, o els seus antecedents els portaven i, per tant, ells ho porten. Ara intentarem trobar el factor 3. Tots els números naturals accepten alguna d'aquestes 3 formes:
Suposem que a , b, o c no portés el factor 3 directament (no es complís abc=30, que a o b fós del tipus 3n + 1 o 3n + 2). Complint Pitàgoras:
el segon catet tindria el valor de:
El factor 3 hi apareix sempre. Per tant, si sempre hi ha inclòs el factor 3 (i el 2 i el 5 prèviament demostrats), l'equació abc=30n es compleix.
Tornar a l'enunciat del problema
Tornar a la pàgina principal