Teoremes relatius a la continuïtat de funcions.

Lema:

Sigui una funció contínua en .

Si aleshores existeix un entorn de en el que té el mateix signe que .

Demostració: (no s’exigeix aquesta demostració en el currículum del Batxillerat).

Suposem

com és contínua en

Per tant

Teorema de Bolzano.

Sigui una funció contínua en l’interval tal que pren valors de signes diferents en els extrems de l’interval aleshores existeix un i

Demostració: (no s’exigeix aquesta demostració en el currículum del Batxillerat).

Suposem

Sigui X no és buit ja que

X està acotat superiorment per b pel Teorema del suprem

Anem a demostrar el següent

pel Lema anterior existeix un entorn de

tal que per tant existeix tal que i d’aquesta manera no seria suprem del conjunt X.

pel Lema anterior existeix un entorn de

tal que per tant existeix tal que i d’aquesta manera no seria suprem del conjunt X.

Interpretació gràfica del teorema de Bolzano.

Observació:

Aquest no té perquè ser únic.

Necessitat de les hipòtesis.

És necessària la hipòtesis de la continuïtat de en ja que si no és contínua no té perquè existir

és suficient contínua en

Teorema dels valors intermedis.

Sigui una funció contínua en l’interval tancat aleshores pren tots els valors compresos entre

Demostració:

Si evident.

Suposem doncs sigui c tal que considerem la funció com és contínua en aleshores també.

Pel Teorema de Bolzano

Es a dir

Exemples

Exemple 1:

Demostreu que l’equació té solució.

Solució:

Sigui

és contínua en

Exemple 2:

Demostreu que existeix un número real solució de l’equació

Solució:

Sigui és contínua a en particular en l’interval

Continuïtat i acotació.

Definició:

Una funció es diu acotada superiorment si i només sí

Una funció es diu acotada inferiorment si i només sí

Una funció es diu acotada si i només sí

està acotada superiorment e inferiorment per tant és acotada.

Proposició.

Sigui una funció contínua en l’interval tancat és acotada en

(No fem la demostració).

Necessitat de les hipòtesis.

Si no és contínua en l’interval tancat , no té perquè ésser acotada.

continua en i no acotada

no continua en un punt interior de .

Teorema de Bolzano-Weierstrass.

i) Si una funció és contínua en aleshores existeix un punt tal que

ii) Si una funció és contínua en aleshores existeix un punt tal que

Això vol dir que tota funció contínua en un interval tancat té màxim i mínim que són respectivament.

Necessitat de les hipòtesis:

Si contínua en no té perquè tenir màxim en les imatges.

Si no és contínua en un punt interior no té perquè tenir màxim en