Els Elements d’Euclides i la geometria amb regle i compàs  
Per: Ramon Llull Dia: 17/12/01
Ptolomeu I, hereu de la meitat egipcia de l’imperi creat per Alexandre Magne, establí una “Universitat” a Alexandria, coneguda com el Museu, no superada per cap altra de l’època. Allí cridà savis de primera línia. Un d’ells, Euclides, escrigué el text de matemàtiques d’èxit més fabulós que s’hagi escrit mai, Els Elements d’Euclides. Escrit el 300 aC probablement és el segon llibre més reeditat de la història i fou usat en les acadèmies d’arreu del món fins entrat el s.XIX dC. Els Elements d’Euclides eren una col·lecció de llibres de text (una exposició en un ordre lògic dels fonaments de la matemàtica elemental) d’artimètica, geometria sintètica (punts, rectes, plans, cercles i esferes) i àlgebra (explicada geomètricament).

En els llibres que formen part dels Elements i que parlen de geometria sintètica hi ha:

  • Definicions: Descripcions d’objectes geomètrics que hom ha d’emprar. Per exemple: punt (és allò que no té part), recta, segment, superfície (és allò que només té longitud i amplada), triangle...
  • Postulats i nocions comuns: Proposicions certes que no necessiten demostració. Per exemple: Per dos punts diferents passa una recta; Tot segment es pot prolongar indefinidament; Donats un centre i una distància qualssevol, se’n pot descriure un cercle; Tots els angles rectes són iguals.
  • Axiomes: Proposicions intuïtives que cal conèixer per aprendre quelcom i que tenen caràcter més aviat lògic. Per exemple: Si dues coses són iguals a una tercera, és que totes dues són també iguals entre si; Si a coses iguals hi són afegides coses iguals, se’n treuen totalitats iguals; El tot és més gran que la part.
  • Teoremes: Proposicions demostrades. Aquestes proposicions ens diuen que si es cumpleixen les hipotesis llavors es cumpleix la tesi.

Els grecs de l’època creien que tot teorema geomètric tenia una demostració perfecta si era feta amb regle i compàs.

El regle només permet traçar rectes (també semirectes i segments) per dos punts. El compàs permet traçar circumferències (també arcs) amb centre un punt i que passi per un altre punt. Així definit s'anomena compàs col·lapsable ja que en aixecar-lo del paper es col·lapsa i no recorda l'anterior obertura. Per tant en principi no serveix per traslladar segments.

Exemple de teorema i demostració que podríem trobar als Elements d'Euclides.

Teorema: A partir d'un segment AB es pot construir un triangle equilàter ABC.

Demostració: Tracem la circumferència de centre B que passa per A. Després la circumferència de centre A que passa per B i la circumferència de centre B que passa per A. Les dues circumferències es tallen en 2 punts. Anomeno C un d'ells. Com que C pertany a les dues circumferències que tenen radi AB llavors AC = AB = BC. Per tant és un triangle equilàter perquè té els tres costats iguals.

Bibliografia:

  • Boyer, Carl B. Historia de la matemática, Alianza Editorial,1969. p. 141-8, 162
  • Mankiewicz, Richard. Historia de las matemáticas, Paidós, 2000. p. 28-32
  • VVAA, Ulisses. Enciclopèdia de la recerca i la descoberta, Edicions Ulisses, 1978. p.15, 34-37
  • Xiberta, Manuel i Juana, Geometria, ed. Duch, 1958. p.5-11, 17, 18