L'enunciat del teorema de Pitàgores és: "En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets". si anomenem a, la hipotenusa i b i c els catets el teorema queda:

La figura del costat demostra el teorema per un triangle rectangle de costats 3, 4 i 5.

Si volem demostrar el teorema per un triangle rectangle qualsevol podem fer-ho de la manera següent.

Considerem dos quadrats iguals. Descomposem el primer en dos rectangles iguals (de costats b i c) i en dos quadrats (de costats b i c). Descomposem el segon en quatre triangles rectangles iguals (de catets b i c, i d'hipotenusa a) i un quadrat (de costat a).

Els quatre triangles rectangles equivalen als dos rectangles de la primera figura, n'hi ha prou amb fer les diagonals per veure-ho més clar. Llavors l'àrea dels dos quadrats de la primera figura (la suma dels quadrats dels catets), és equivalent a l'àrea del quadrat de la segona figura (el quadrat de la hipotenusa).

Queda demostrat el teorema de Pitàgores.

 

Abans dels pitagòrics (potser uns 500 anys abans), els xinesos també demostraven el teorema, inscrivint un quadrat dins un altre, amb la qual cosa es formaven 4 triangles rectangles d'hipotenusa a i catets b i c.

L'àrea del quadrat gran de costat (b+c) és igual a la del quadrat petit (de costat a), més la dels quatre triangles rectangles:

Dibuixant les paral.leles als costats del quadrat gran pels punts P,Q,R i S, s'obté un quadrat interior de costat (c-b) més quatre rectangles de costats b i c.

Així, l'àrea del quadrat gran també es pot expressar com:

Si s'igualen les dues expressions s'arriba a:

que és el Teorema de Pitàgores.

L'avantatge d'aquesta demostració és que a,b, c poden ser qualsevol nombre, amb l'única condició que b+c és el costat del quadrat gran i a el costat del quadrat inscrit.

 

Torna a la pàgina principal