Recordemos que los
dos vectores =(1,0)
y =(0,1) forman
una base de los vectores del plano y que cualquier vector =(u1,u2)
se puede escribir
= (u1,u2)
= u1 +
u 2
Tratemos ahora de calcular el producto
escalar de dos vectores
y conocidas sus
componentes (en lugar de sus módulos y el ángulo
que forman):
= (a1,a2)
= a1 + a2![](gif/vec_j.gif)
=
(b1,b2) = b1 +
b2![](gif/vec_j.gif)
Utilizando las propiedades
vistas en las actividades anteriores, podemos escribir:
· =
(a1 +
a2 )·(b1 +
b2 )
= a1b1 · +
a1b2 · +
a2b1 · +
a2b2 ·
Ahora bien, cuando se multiplican escalarmente los vectores
y se verifica
·
= ·
= 1
·
= ·
= 0
Substituyendo en la expresión
del producto escalar de
y , obtenemos
un resultado muy importante que nos permite calcular directamente
un producto escalar de dos vectores conociendo sus componentes:
· =
(a1,a2)·(b1,b2)
= a1b1+ a2b2
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ACTIVIDAD INTERACTIVA
Tienes el producto escalar de dos vectores calculado aplicando
la fórmula
· =
(a1,a2)·(b1,b2)
= a1b1+ a2b2
Calcula los siguientes productos escalares y comprueba el resultado
utilizando este applet:
1) (4,1)·(2,3)
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6) (3,0)·(0,3)
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2) (3,-1)·(2,4)
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7) (3,2)·(-3,-2)
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3) (4,0)·(-2,3)
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8) (3,2)·(-2,3)
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4) (-2,3)·(1,-2)
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9) (-3,-2)·(-2,3)
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5) (2,1)·(4,2)
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10) (3,2)·(2,-3)
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SOLUCIÓN
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Dados los vectores =(3,4),
=(1,-2), =(0,4)
y =(-3,1), calcula los siguientes
productos escalares:
a) ·![](gif/vec_b.gif) |
b) ·![](gif/vec_c.gif) |
c) ·![](gif/vec_d.gif) |
d) ·![](gif/vec_c.gif) |
e) ·![](gif/vec_d.gif) |
f ) ·![](gif/vec_d.gif) |
g) 2
= ·![](gif/vec_a.gif) |
h) 2
= ·![](gif/vec_b.gif) |
i ) 2 ·(3 + ) |
j ) ( + )·( + ) |
k) ( + )2=( + )·( + ) |
l ) ( + )·( - ) |
Trata de calcular los productos escalares i), j),
k) y l) de dos formas diferentes.
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