|
6-Estudia la monotonia de les successions: SOLUCIÓ:
Si repartim 1 entre cada vegada més gent el resultat és més petit. Decreixent b) `b_n=n^2 = {1, 4, 9, 16, 25, ...}` Algun dubte? Creixent c) `c_n=(n-1)/n = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...} = {0,0'5, 0'\overline{6}, 0'75, 0'8,... }` Clàrament creixent i hi afegeixo fitada ja que mai serà més gran que `1` perquè dividim un nombre per un altre que sempre és un xic més gran. d) `d_n=n^2/(n+2) = {1/3, 1, 9/5, 16/6, ...} = {0'\overline{3},0'5, 1'8,... }` Creixent ja que el numerador creix més depressa que el denominador. e) `e_n=n^2-n^3 = {0, -4, -18, -48, ...}` Decreixent ja que el `-n^3` creix més depressa que `n^2` i `-n^3` és negatiu. f) `f_n=2n-25 = {-23, -21, -19, -17 ...}` Creixent. Fixeu-vos que en aquesta succesió cada terme és iguala a l'anterior més una constant. Que en aquest cas val `2`. Les successions que compleixen això se'n diuen progressions aritmètiques 7-Digues si tenen fites superiors i inferiors les successions anteriors: SOLUCIÓ:
Superiors qualsevol nombre més gran (o igual) que `1` per exemple el `2`, el mateix `1` també ho és. Inferiors qualsevol nombre més petit (o igual) que `0` per exemple el `-2`. El `0` també ho és, de fet és la fita inferior més gran. Més endavant veurem que és el límit on tendeix aquesta successió. b) `b_n=n^2 = {1, 4, 9, 16, 25, ...}` Superiors no en té. Se'n va cap a `+\infty`. Inferiors no en té. Qualsevol número `<=1` pe exemple el `0`. c) `c_n=(n-1)/n = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...} = {0,0'5, 0'\overline{6}, 0'75, 0'8,... }` Superiors l'`1`. Inferiors el `0`. d) `d_n=n^2/(n+2) = {1/3, 1, 9/5, 16/6, ...} = {0'\overline{3},0'5, 1'8,... }` Superiors no en té, la successió se'n va cap a `+\infty`. Inferiors el `0`. e) `e_n=n^2-n^3 = {0, -4, -18, -48, ...}` Superiors l'`1`. Inferiors no en té, se'n va cap a `-\infty`. f) `f_n=2n-25 = {-23, -21, -19, -17 ...}` Superiors no en té, la successió se'n va cap a `+\infty`. Inferiors el `-24`. I recordeu que si tinc una fita superior, tots els números més grans que ell, també ho són. I si tinc una fita inferior, tots els números més petits que ell, també ho són. 8-Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. 6000, és una fita superior? Està fitada inferiorment? SOLUCIÓ:
`6000` NO és una fita superior perquè el terme `1201`, `a_1201 = 5·1201 = 6005` és més gran que `6000` SÍ ja que és una successió creixent i el `5` i nombres més petits, són fites inferiros. 13-Calcula els termes 100 i 1000 de les successions, `a_n=(n+10)/n` i `b_n=(n^2+100)/(n+10)` SOLUCIÓ:
`a_1000=(1000+10)/100=1010/100=1'01` `b_100=(100^2+100)/(100+10)=10100/110 = 91'\overline{81}` `b_1000=(1000^2+100)/(1000+10)=1000100/1010 = 990,1980` 9-Calcula els límits següents: SOLUCIÓ:
Quocient de polinomis amb el grau de dalt > que a baix `=> lim a_n=0` b) `b_n=n/(n+b)` Quocient de polinomis amb el grau de dalt = que a baix `=> lim b_n=1/1=1` c) `c_n=(n^2-1)/(n^2+1)` Quocient de polinomis amb el grau de dalt = que a baix `=> lim c_n=1/1=1` d) `d_n=100/n` Quocient de polinomis amb el grau de dalt > que a baix `=> lim d_n=0` e) `e_n=n^2-100` Un polinomi amb el monomi de grau més gran `n^2` coeficient, `1>0 =>` lim `e_n=+\infty` f) `f_n=-n^3+100` Un polinomi amb el monomi de grau més gran `-n^3` coeficient, `-11<0 =>` lim `f_n=-\infty` g) `g_n=n^2-50n+125` Un polinomi amb el monomi de grau més gran `n^2` coeficient, `1>0 =>` lim `g_n=+\infty` h) `h_n=(2n^2-1)/n^2` Quocient de polinomis amb el grau de dalt = que a baix `=> lim h_n=2/1=2` |