(2024-juny-1-2) Considereu el sistema d’equacions següent:
$$
\begin{cases}
4x+2y-z=4\\
x-y+kz=3\\
3x+3y=1
\end{cases}
$$
on `k` és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`, i resoleu-lo per a `k = 0`. [1 punt]

b) Resoleu el sistema per a `k = –1`. [0,75 punts]

c) Per a `k = –1`, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta. [0,75 punts]


    a) Calcularem els rangs de la Matriu del Sistema i el de l'ampliada.

    $$
    \begin{vmatrix}
    4&2\\\
    1&-1
    \end{vmatrix}=4*(-1)-2*1 = -6 \ne 0
    $$

    Això implica que el rang de les dues matrius, com a mínim és `2`.

    Anem a veure per quins valors de `k` el determinant de la matriu del sistema val `0` i això nes dirà per quins valors de `k` el Rang de la Matriu del Sistema val `2`.

    $$
    \begin{vmatrix}
    4&2&-1\\\
    1&-1&k\\\
    3&3&0
    \end{vmatrix}= 6k-3-(12k+3)=6k-3-12k-3=-6k-6=0 => k=-1
    $$

    Si `k ne -1` Rang Mat Sis = 3 = Rang Mat Amp `=>` sistema compatible determinat

    Si `k=-1`

    $$
    \begin{vmatrix}
    4&2&4\\\
    1&-1&3\\\
    3&3&1
    \end{vmatrix}=-4+18+12-(-12+36+2) = 0
    $$

    Si `k = -1` Rang Mat Sis = 2 = Rang Mat Amp `=>` sistema compatible indeterminat

    $$
    \begin{cases}
    4x+2y-z=4\\
    x-y=3\\
    3x+3y=1
    \end{cases}
    $$

    Per qüestions emocionals ho resolc per Gauss. Es pot fer per Cramer, per exemple. O per substitució.
    Equació inicial:

      `4x +2y -z = +4`
      `3x +3y= +1`
      `x -y= +3`


    Canviat l'ordre de les equacions: 1ª, 3ª.

      `x -y= +3`
      `3x +3y= +1`
      `4x +2y -z = +4`


    Multipliquem la 1ª equació per (-3) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .

      `x -y= +3`
      `6y= -8`
      `+4x +2y -z = +4`


    Multipliquem la 1ª equació per (-4) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .

      `x -y= +3`
      `6y= -8`
      `6y -z = -8`


    Multipliquem la 2ª equació per (-6) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 6 .

      `x -y= +3`
      `6y= -8`
      `-6z = 0`


    Multipliquem la 2ª equació per 1 i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 6 .

      `6x = +10`
      `6y= -8`
      `-6z = 0`


    Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.

      `x = 10/6=5/3`
      `y= -8/6=-4/3`
      `z = 0`


    b) Si `k=-1`

    $$
    \begin{cases}
    4x+2y-z=4\\
    x-y-z=3\\
    3x+3y=1
    \end{cases}
    $$

    Si la primera equació li restem la segona ens dona la tercera. Aquesta és combinació lineal de les dues anteriors, per la qual cosa el sistema ens queda:
    $$
    \begin{cases}
    4x+2y-z=4\\
    x-y-z=3
    \end{cases}
    $$


    Ho resolem, també, per Gauss.

      
Equació inicial:
      
	+x	-y	-z	=	+3
      
	+4x	+2y	-z	=	+4
      

      
Multipliquem la 1ª equació per (-4) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	-y	-z	=	+3
      
	0x	+6y	+3z	=	-8
      

      
Passem les incògnites no principals a l'altra banda.
      
	+x	-y	=	+3	+z
      
	0x	+6y	=	-8	-3z
      

      
Multipliquem la 2ª equació per 1 i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 6 .
      
	+6x	0y	=	+10	+3z
      
	0x	+6y	=	-8	-3z
      

      
Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.
      
	+x	0y	=	10/6	+3/6z
      
	0x	+y	=	-8/6	-3/6z
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.

Solució:
    `x = 10/6 +1/2z`
    `y = -4/3 -1/2z`


Sistema original
$$
\begin{cases}
4x+2y-z=4\\
x-y-z=3\\
3x+3y=1
\end{cases}
$$
Canviem l'`1` de la última equació per qualsevol altre nombre, `2`, per exemple, i ens queda un sistema incompatible.
$$
\begin{cases}
4x+2y-z=4\\
x-y-z=3\\
3x+3y=2
\end{cases}
$$

Ja que si a la tercera equació li restem la primera menys la segona ens queda:
$$
\begin{cases}
4x+2y-z=4\\
x-y-z=3\\
0=1
\end{cases}
$$
Que, evidentment, és incompatible.