|
4-(2019-juny-1-2). Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`: $$ \begin{cases} x+3y+2z=-1 \\ x+k^2y+3z=2k \\ 3x+7y+7z=k-3 \end{cases} $$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`. b) Resoleu el sistema per al cas `k = -1`.
$$ M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\\ 1 & k^2 & 3\\\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} $$ Si agafem la matriu `2 \times 2`: $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\\ 3 & 7 \end{vmatrix}=21-9=12\ne0 => \text{rang} \geq 2 $$ $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\\ 1 & k^2 & 3\\\ 3 & 7 & 7 \end{vmatrix}=7k^2+27+14-(6k^2+21+21)=k^2-1=0 => k_1=1 \text{ o } k_2=-1 $$ Calculem el rang de la matriu ampliada en amdos casos. `k_1=1` $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\\ 1 & 1 & 3 & 2\\\ 3 & 7 & 7 & -2 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\\ 1 & 1 & 2\\\ 3 & 7 & -2 \end{vmatrix}=-2+18-7-(-3+14-6)=9-5=4\ne 0 => \text{rang}A' =3 $$ `k_2=-1` $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\\ 1 & 1 & 3 & -2\\\ 3 & 7 & 7 & -4 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\\ 1 & 1 & -2\\\ 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}=-4-18-7-(-3-14-12)=-29+29=0 => \text{rang}A' =2 $$
b- $$ \begin{cases} x+3y+2z=-1 \\ x+y+3z=-2 \\ 3x+7y+7z=-4 \end{cases} $$ La 3a equació és la 1a per `2` més la 2a, per la qual cosa podem treure la 3a equació. $$ \begin{cases} x+3y+2z=-1 \\ x+y+3z=-2 \\ z=\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+3y=-1-2\lambda \\ x+y=-2-3\lambda \end{cases} $$ Si restem la 1a menys la segona $$ \begin{cases} 2y=1+\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=1/2+\lambda/2 \end{cases} $$ Ho substituïm a la 2a $$ \begin{cases} x+1/2+\lambda/2=-2-3\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x+1+\lambda=-4-6\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x=-5-7\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=-5/2-7/2\lambda \end{cases} $$ $$ \begin{cases}x=\frac{-5}{2}-\frac{7}{2}\lambda\\ y=\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{2}\\ z=\lambda\end{cases} \forall \lambda \in R $$ |