5-(2019-juny-4-3). Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `a`:
$$
\begin{cases} ax+7y+5z=0 \\
x+ay+z=3 \\
y+z=-2 \end{cases}
$$
a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `a`.

b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`.


    a- Matriu del sistema:
    $$
    M=\begin{pmatrix}
    a & 7 & 5\\\
    1 & a & 1\\\
    0 & 1 & 1
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    det(M)=\begin{vmatrix}
    a & 7 & 5\\\
    1 & a & 1\\\
    0 & 1 & 1
    \end{vmatrix}=a^2+0+5-(0+a+7)=a^2-a-2=0 => a_1=2 \text{ i } a_2=-1
    $$
    Si `a_1\ne2` `i` `a_2\ne-1 =>` Rang M = Rang M' = `3` = número de incògnites `=>` sistema compatible i determinat


    `a_1=2`
    $$
    M=\begin{pmatrix}
    2 & 7 & 5 & 0\\\
    1 & 2 & 1 & 3\\\
    0 & 1 & 1 & -2
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    2 & 7 \\\
    1 & 2
    \end{vmatrix}= 4-7 =-3\ne 0 => \text{rang M} = 2
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    2 & 7 & 0\\\
    1 & 2 & 3\\\
    0 & 1 & -2
    \end{vmatrix}=-8+0+0-(0+6-14)=-8+8=0 => \text{rang M'} =2 => \text{Sistema compatible indeterminat}
    $$


    `a_2=-1`
    $$
    M=\begin{pmatrix}
    -1 & 7 & 5 & 0\\\
    1 & -1 & 1 & 3\\\
    0 & 1 & 1 & -2
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    -1 & 7 \\\
    1 & -1
    \end{vmatrix}= 1-7 =-6\ne 0 => \text{rang M} = 2
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    -1 & 7 & 0\\\
    1 & -1 & 3\\\
    0 & 1 & -2
    \end{vmatrix}=-2+0+0-(0-3-14)=-2+17=15 => \text{rang M'} = 3 => \text{Sistema incompatible}
    $$



    b-
    $$
    \begin{cases} 2x+7y+5z=0 \\
    x+2y+z=3 \\
    y+z=-2 \end{cases}
    $$

      
Reordenem les equacions.
      
	+x	+2y	+z	=	+3
      
	+2x	+7y	+5z	=	0
      
	0x	+y	+z	=	-2
      

      
Multipliquem la 1ª equació per (-2) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+2y	+z	=	+3
      
	0x	+3y	+3z	=	-6
      
	0x	+y	+z	=	-2
      

      
Canviat l'ordre de les equacions:	2ª,	3ª.
      
	+x	+2y	+z	=	+3
      
	0x	+y	+z	=	-2
      
	0x	+3y	+3z	=	-6
      

      
Multipliquem la 2ª equació per (-3) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+2y	+z	=	+3
      
	0x	+y	+z	=	-2
      
	0x	0y	0z	=	0
      

      
Eliminem la 3ª equació.
      
	+x	+2y	+z	=	+3
      
	0x	+y	+z	=	-2
      

      
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
      

      
Passem les incògnites no principals a l'altra banda.
      
	+x	+2y	=	+3	-z
      
	0x	+y	=	-2	-z
      

      
Multipliquem la 2ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	0y	=	+7	+z
      
	0x	+y	=	-2	-z
      

      
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
      
Solució: 
      
x = +7	+z
      
y = -2	-z