1-(2020-juny-1) 5. Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\ -3 & -4 \end{pmatrix} $$ a) Trobeu la matriu `X` que satisfà l'equació `AX = I - 3X`, en què `I` és la matriu identitat d'ordre 2. b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. a- `AX=I-3X => AX+3X=I => (A+3)X=I =>` `(A+3)^{-1}(A+3)X=(A+3)^{-1}·I => X=(A+3)^{-1}` $$ A+3=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix} $$ `det(A+3)=-4+3=-1` $$ (A+3)^t=\begin{pmatrix}4 & -3\\\ 1 & -1\end{pmatrix} $$ $$ ((A+3)^t)^*=\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 3 & 4\end{pmatrix} $$ $$ X=\frac{((A+3)^t)^*}{det(A+3)}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix} $$ b- `det X = -4+3=-1 \ne 0 =>` té inversa `AX=I-3X => AX+3X=I => (A+3)X=I => (A+3)=X^(-1)` $$ X^{-1}=A+3=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix} $$