2-(2020-juny-3-1). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real. a) Determineu el rang de la matriu `A` en funció del paràmetre `a`. b) Comproveu que `det(A^2 + A) = 0`. a- $$ \begin{vmatrix} 1 & 0\\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1 => \text{rang} \geq 2 $$ `det A = -1+0+2a-(0+a-0)=a-1=0 => a=1` `det A=0` `a=1 =>` rang `=2`. `a\ne1` rang `=3` b- $$ A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2a & 4\\\ 0 & 1+a & 2\\\ a & 0 & a+1\end{pmatrix} $$ $$ A^2+A=\begin{pmatrix}1 & 2a & 4\\\ 0 & 1+a & 2\\\ a & 0 & a+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2a & 6\\\ 1 & a & 3\\\ a & a & a+2\end{pmatrix} $$ El determinant és `0` ja que la 1a fila és la 2a multiplicada per `2`