7. (2020-juny-3-3). Considereu el sistema d'equacions lineals següent:
$$
\begin{cases} ax+y=a \\
x+ay+z=5 \\
x+2y+z=5 \end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `a`.

    b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`.

    a- Matriu del sistema:
    $$
    M=\begin{pmatrix}
    a & 1 & 0\\\
    1 & a & 1\\\
    1 & 2 & 1
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    det(M)=\begin{vmatrix}
    a & 1 & 0\\\
    1 & a & 1\\\
    1 & 2 & 1
    \end{vmatrix}=a^2+1+0-(0+2a+1)= a^2-2a =0 => a_1=0 \text{ i } a_2=2
    $$
    Si `a \ne 0` `i` `a \ne 2 =>` Rang M = Rang M' = `3` = número de incògnites `=>` sistema compatible i determinat



    `a=0`
    $$
    M'=\begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0\\\
    1 & 0 & 1 & 5\\\
    1 & 2 & 1 & 5
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    0 & 1 \\\
    1 & 0
    \end{vmatrix}= -1\ne 0 => \text{rang M} = 2
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    0 & 1 & 0\\\
    1 & 0 & 5\\\
    1 & 2 & 5
    \end{vmatrix} = 0+5+0-(0+0+5)=5-5=0 => \text{Rang(M')}=2
    $$
    Si `a=0 => ` Rang(M) `=` Rang(M') `=2<3` número d'incògnites `=>` sistema compatible indeterminat


    `a=2`
    $$
    M'=\begin{pmatrix}
    2 & 1 & 0 & 2\\\
    1 & 2 & 1 & 5\\\
    1 & 2 & 1 & 5
    \end{pmatrix}
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    2 & 1 \\\
    1 & 2
    \end{vmatrix}= 4-1=3\ne 0 => \text{rang M} = 2
    $$
    $$
    \begin{vmatrix}
    2 & 1 & 2\\\
    1 & 2 & 5\\\
    1 & 2 & 5
    \end{vmatrix} = 0 \text{ , ja que la 2a i 3a columnes són iguals} => \text{Rang(M')}=2
    $$
    Si `a=2 => ` Rang(M) `=` Rang(M') `=2<3` número d'incògnites `=>` sistema compatible indeterminat



    b-
    $$
    \begin{cases} 2x+y=2 \\
    x+2y+z=5 \\
    x+2y+z=5 \end{cases}
    $$

      
Equació inicial:
      
	+x	+2y	+z	=	+5
      
	+x	+2y	+z	=	+5
      
	+2x	+y	0z	=	+2
      

      
Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+2y	+z	=	+5
      
	0x	0y	0z	=	0
      
	+2x	+y	0z	=	+2
      

      
Eliminem la 2ª equació.
      
	+x	+2y	+z	=	+5
      
	+2x	+y	0z	=	+2
      

      
Multipliquem la 1ª equació per (-2) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+2y	+z	=	+5
      
	0x	-3y	-2z	=	-8
      

      
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
      
Passem les incògnites no principals a l'altra banda.
      
	+x	+2y	=	+5	-z
      
	0x	-3y	=	-8	+2z
      

      
Multipliquem la 2ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per (-3) .
      
	-3x	0y	=	+1	-z
      
	0x	-3y	=	-8	+2z
      

      
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
      
Solució:



      `x = -1/3 + z/3`

      `y = 8/3 -(2z)/3`