3-(2020-setembre-4-4). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} a & -3 & 0\\\ 4 & a-7 & 1\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real. a) Estudieu el rang de la matriu `A` per als diferents valors del paràmetre `a`. b) Comproveu que per a `a = 4` la matriu `A` és invertible i que es verifica que `A^(-1) = A^2`. a- Calculem el determinant del menor: $$ \begin{vmatrix}4 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-4-1=-5\ne 0 => \text{rang} \geq 2 $$ $$ \begin{vmatrix} a & -3 & 0\\\ 4 & a-7 & 1\\\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}=-a^2+7a-3+0-(0-a+12)=-a^2+8a-15=0 $$ `=> a_1=3` i `a_2=5 =>` Per `a_1=3` o `a_2=5 =>` rang `=2`. En els altres casos, rang `=3` b- `a=4` $$ \begin{vmatrix} 4 & -3 & 0\\\ 4 & -3 & 1\\\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}4 & -3 & 0\\\ 4 & -3 & 1\\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}4 & -3 & 0\\\ 4 & -3 & 1\\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -3 & -3\\\ 5 & -4 & -4\\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix} $$ Per comprovar que són nverses multipliquem `A·A^2` i veurem que dona la Identitat. $$ \begin{pmatrix}4 & -3 & 0\\\ 4 & -3 & 1\\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}4 & -3 & -3\\\ 5 & -4 & -4\\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$