Considereu les dues matrius següents:
$$
A=\begin{pmatrix}
2&-3&-5\\\
-1&4&5\\\
1&-3&-4
\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}
2&2&0\\\
-1&-1&0\\\
1&2&1
\end{pmatrix}
$$
a) Calculeu les matrius `A · B` i `B · A`. [1,5 punts]

Solució:
    $$
    A·B=\begin{pmatrix}
    2&-3&-5\\\
    -1&4&5\\\
    1&-3&-4
    \end{pmatrix}
    ·\begin{pmatrix}
    2&2&0\\\
    -1&-1&0\\\
    1&2&1
    \end{pmatrix}=
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2·2+(-3)·(-1)+(-5)·1&2·2+(-3)·(-1)+(-5)·2&2·0+(-3)·0+(-5)·1\\\
    -1·2 + 4·(-1) + 5·1&-1·2 + 4·(-1) + 5·2&-1·0 + 4·0 + 5·1\\\
    1·2 + (-3)·(-1) + (-4)·1&1·2 + (-3)·(-1) + (-4)·2&1·0 + (-3)·0 + (-4)·1
    \end{pmatrix}=
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2&-3&-5\\\
    -1&4&5\\\
    1&-3&-4
    \end{pmatrix}=A
    $$


    $$
    B·A=
    \begin{pmatrix}
    2&2&0\\\
    -1&-1&0\\\
    1&2&1
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    2&-3&-5\\\
    -1&4&5\\\
    1&-3&-4
    \end{pmatrix}=
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2·2 +2·(-1) +0·1 &2·(-3) +2·4 +0·(-3) &2·(-5) +2·5 +0·(-4) \\\
    (-1)·2 + (-1)·(-1) + 0·1 &(-1)·(-3) + (-1)·4 + 0·(-3) &(-1)·(-5) + (-1)·5 + 0·(-4) \\\
    1·2 + 2·(-1) + 1·1 &1·(-3) + 2·4 + 1·(-3) &1·(-5) + 2·5 + 1·(-4)
    \end{pmatrix}·
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2 &2 &0 \\\
    -1 &-1 &0 \\\
    1 &2 &1
    \end{pmatrix}=B
    $$


b) Siguin `C` i `D` dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan `C · D = C` i `D · C = D`. Comproveu que les dues matrius, `C` i `D`, són idempotents. [1 punt]
Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.


Solució:
    1-Tenim:

      `C·D=C`


    Multipliquem per `C` a cada costat

      `C·D·C=C^2`


    Com `D·C=D`, tenim:

      `C·D=C^2`


    I com hem partit de què `C·D=C` `=>`

      `C=C^2`


    Per la qual cosa `C` és idempotent per la definició que n'hem donat.


    2-Tenim:

      `D·C=D`


    Multipliquem per `D` a cada costat

      `D·C·D=D^2`


    Com `C·D=C`, tenim:

      `D·C=D^2`


    I com hem partit de què `D·C=D` `=>`

      `D=D^2`


    Per la qual cosa `D` és idempotent per la definició que n'hem donat.



ANNEX:
    Resulta que les dues matrius que ens han donat compleixen lo anterior, `A·B=A` i `B·A=B`. Vol dir que són idempotents.
    Ho podem comprovar amb la matriu `A`. Ha de passar que `A^2=A`

    $$
    A^2=\begin{pmatrix}
    2&-3&-5\\\
    -1&4&5\\\
    1&-3&-4
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    2&-3&-5\\\
    -1&4&5\\\
    1&-3&-4
    \end{pmatrix}=
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2·2 +(-3)·(-1) + (-5)·1 &2·(-3) +(-3)·4 + (-5)·(-3) &2·(-5) +(-3)·5 + (-5)·(-4) \\\
    (-1)·2 + 4·(-1) + 5·1 &(-1)·(-3) + 4·4 + 5·(-3) &(-1)·(-5) + 4·5 + 5·(-4) \\\
    1·2 +(-3)·(-1) +(-4)·1 &1·(-3) +(-3)·4 +(-4)·(-3) &1·(-5) +(-3)·5 +(-4)·(-4)
    \end{pmatrix}=
    $$
    $$
    \begin{pmatrix}
    2 &-3 &-5 \\\
    -1 &4 &5 \\\
    1 &-3 &-4
    \end{pmatrix}=A
    $$