Siguin
$$
A=\begin{pmatrix}
2&1\\\
3&2
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
2&-1\\\
-3&2
\end{pmatrix}
$$
i la matriu identitat d'ordre dos
$$
I=\begin{pmatrix}
1&0\\\
0&1
\end{pmatrix}
$$

a) Comproveu que `(A-2I)^2=3I` [0,5 punts]

Solució:
    $$
    A-2I=\begin{pmatrix}
    2&1\\\
    3&2
    \end{pmatrix}-
    2\begin{pmatrix}
    1&0\\\
    0&1
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    2&1\\\
    3&2
    \end{pmatrix}+
    \begin{pmatrix}
    -2&0\\\
    0&-2
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    0&1\\\
    3&0
    \end{pmatrix}
    $$

    $$
    (A-2I)^2=\begin{pmatrix}
    0&1\\\
    3&0
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    0&1\\\
    3&0
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    3&0\\\
    0&3
    \end{pmatrix}=3I
    $$



b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts]

Solució:
    `(A-2I)^2=3I`


    `(A-2I)·(A-2I)=3I`


    `A^2-2IA-A2I+2I2I=3I`


    `A^2-4A+4I=3I`


    `A^2-4A=3I-4I`


    `A^2-4A=-I`


    `4A-A^2=I`


    `(4I-A)A=I`

    `A^(-1)=4I-A`
    $$
    4I-A=\begin{pmatrix}
    4&0\\\
    0&4
    \end{pmatrix}
    -\begin{pmatrix}
    2&1\\\
    3&2
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    2&-1\\\
    -3&2
    \end{pmatrix}
    $$


c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts]

Solució:
    `A·X=B`


    `A^(-1)·A·X=A^(-1)·B`


    `X=A^(-1)·B`


    `X=B·B`
    $$
    X=B^2=\begin{pmatrix}
    2&-1\\\
    -3&2
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    2&-1\\\
    -3&2
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    7&-4\\\
    -12&7
    \end{pmatrix}
    $$