Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real.
$$
\begin{cases}
2x+y=1+z\\
my+z=2-x\\
mz+3=3x+y
\end{cases}
$$
a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre `m`. [1,25 punts]
Solució:
Cal calcular el rang de la matriu del sistema `M` i el de la matriu ampliada, `M'`, en funció d'`m`. Primer arreglarem el sistema:
$$
\begin{cases}
2x+y-z=1\\
x+my+z=2\\
-3x-y+mz=-3
\end{cases}
$$
$$
M=\begin{pmatrix}
2&1&-1\\\
1&m&1\\\
-3&-1&m
\end{pmatrix}
$$
$$
Det(M)=\begin{vmatrix}
2&1&-1\\\
1&m&1\\\
-3&-1&m
\end{vmatrix}= 2m^2-3+1-(3m+m-2)=2m^2-4m
$$
Cal resoldre aquesta equació:
Que té dues solucions `m=0` i `m=2`
- Cas `m ne 2` i `m ne 0` Rang `M=3 =` Rang `M'=3` que implica, ja que són iguals i iguals al nombre d'incògnites,
Sistema compatible determinat.
- Cas `m=0`. Calculem el determinant `2·2`
$$
\begin{vmatrix}
2&1\\\
1&0
\end{vmatrix}=-1 \ne 0
$$
O sigui el rang de `M = 2`. Orlem amb la matriu per calcular el rang de la matriu ampliada i només podem fer-ho amb les dues primeres columnes i la formada pels termes independents. Cal calcular el determinant d'aquesta matriu:
$$
\begin{vmatrix}
2&1&1\\\
1&0&2\\\
-3&-1&-3
\end{vmatrix}=0-6-1-(0-4-3)=-7+7=0
$$
El determinat d'aquesta matriu és `0` (cas `m=0`), la qual cosa fa que el rang de la matriu ampliada sigui `2` i gual que la matriu del sistema. Tot això implica que:
Si `m=0` Rang `M=2 =` Rang `M'=2` i com el número d'incògnites és `3>2 =>`
Sistema compatible indeterminat.
- Cas `m=2` procedim igual que abans, primer calculem el determinant de la primer matriu `2·2`
$$
\begin{vmatrix}
2&1\\\
1&2
\end{vmatrix}=4-1=3 \ne 0
$$
O sigui el rang de `M = 2`. Orlem amb la matriu per calcular el rang de la matriu ampliada i només podem fer-ho amb les dues primeres columnes i la formada pels termes independents. Cal calcular el determinant d'aquesta matriu:
$$
\begin{vmatrix}
2&1&1\\\
1&2&2\\\
-3&-1&-3
\end{vmatrix}=-12-6-1-(-6-4-3)=-19+13=-6 \ne0
$$
Això fa que el determinant de `M' ne 0` (cas `m=2`) i això implica que el Rang `M'=3`
Si `m=2` Rang `M=2 ne` Rang `M'=3` Rangs diferents, implica,
Sistema incompatible.
b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts]
Solució:
Si `m=1` és diferent de `0` i `2` implica que el sistema serà compatible i dpodem resoldre'l de la marea que volguem, Cramer, substitució, Gauss, ... Aquí ho farem per Gauss.
$$
\begin{cases}
2x+y-z=1\\
x+y+z=2\\
-3x-y+z=-3
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=2\\
2x+y-z=1\\
-3x-y+z=-3
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=2\\
-y-3z=-3\\
2y+4z=3
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=2\\
y+3z=3\\
2y+4z=3
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=2\\
y+3z=3\\
-2z=-3
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=2\\
y+3z=3\\
z=3/2
\end{cases}
$$
`y+3·3/2=3`
`y+9/2=3`
`y=-9/2+3`
`y=-3/2`
Anem a la primera equació `x+y+z=2`:
`x-3/2+3/2=2`
`x=2`
`x=2, y=-3/2, z=3/2`
|