8-(2019-setembre-5-4) Considereu la funció `f(x)=1/(1+x^2)`. a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquells punts en què la recta tangent és horitzontal. b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció `f(x)` en què el pendent de la recta tangent és màxim. a- Cal calcular els punts on la derivada val `0`. `f'(x)=(-2x)/(1+x^2)^2` i això només és `0` quant `x=0 => f(0)=1 =>` la recta tangent és horitzontal en el punt `(0,1)` Una recta horitzontal que passa pel `(0,1)` té com equació `y=1` b- El pendent serà màxim quant la derivada `f'(x)` tingui un màxim, calculem la derivada de la derivada. `f''(x)=(-2(1+x^2)^2-(-2x·2(1+x^2)·2x))/(1+x^2)^4=(-2(1+x^2)-(-2x·2·2x))/(1+x^2)^3=(-2-2x^2+8x^2)/(1+x^2)^3` `f''(x)=(6x^2-2)/(1+x^2)^3` `(6x^2-2)/(1+x^2)^3=0 => 6x^2-2=0 => x=\pmsqrt(1/3)=\pmsqrt(3)/3 \approx 0,57735` Per saber si són màxims o mínims calcularem el signe de `f''(x)` en els diferents intervals `f''(-1)=4/+=+` `f''(0)=(-2)/+=-` `f''(1)=4/+=+` f'(x) creixent f'(x) decreixent f'(x) creixent a `(-sqrt(3))/3` la funció passa de creixent a decreixent, hi ha un màxim a `(+sqrt(3))/3` la funció passa de decreixent a creixent, hi ha un minim Cerquem la ordenada del punt cercat `f((-sqrt(3))/3)=1/(1+(-sqrt(3)/3)^2)=1/(1+(3/9))=9/12=3/4` En el punt `((-sqrt(3))/3,3/4)` la funció `f'(x)` té un màxim.