10-(2020-juny-1-1) Tracem la recta tangent a la funció `f(x)=1/x^2+1` per un punt `P = (a, f(a))` del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle. a) Comproveu que l'àrea d'aquest triangle, en funció de `a`, ve donada per la funció `g(a)=(a^2+3)^2/(4a)` b) En quin punt `P` l'àrea del triangle és mínima? Calculeu aquest valor mínim. a- Per trobar l'equació de la recta cal trobar el pendent amb la derivada. `f'(x)=(-2)/x^3` o sigui l'equació de la recta tangent en qualsevol punt, `(a,f(a))=(a,1/a^2+1)` és: `y-1/a^2-1=(-2)/a^3(x-a) => y-1/a^2-1=(-2x)/a^3+2/a^2 => y=(-2x)/a^3+3/a^2+1` L'altura d'aquest triangle és on talla l'eix de coordenades `x=0 =>` altura `=3/a^2+1` I la base on talla l'eix d'abcisses `y=0 => 0=(-2x)/a^3+3/a^2+1=>(2x)/a^3=3/a^2+1=> x=(3a)/2+a^3/2` I l'àrea serà `(\text{base} \times \text{altura})/2 => 1/2(3/a^2+1)·((3a)/2+a^3/2)=a/4(3/a^2+a^2/a^2)·(3+a^2)` `=1/(4a)(3+a^2)·(3+a^2)=(3+a^2)^2/(4a)=g(a)` b- Cal calcular el mínim de l'anterior funció. `g'(a)=(2(3+a^2)·2a·4a-(3+a^2)^2·4)/(4a)^2=(2(3+a^2)·2a·a-(3+a^2)^2)/(4a^2)=` `(3+a^2)/(4a^2)·[4a^2-(3+a^2)]=(3+a^2)/(4a^2)·(3a^2-3)` Per trobar el mínim cerquem quan `g'(x)=0` `((3+a^2)·(3a^2-3))/(4a^2)=0` o sigui ho serà quan algun dels factors del numerador sigui `0` `3+a^2=0 => a^2=-3` que no té cap solució en els reals. `3a^2-3=0 => a^2=3/3=> a^2=1 => a=sqrt(1)=1` Recordeu que el put es troba en el primer quadrant per la qual cosa la solució `-1` no es te en compta. L'àrea per `a=1` és `g(1)=(3+1^2)^2/(4·1)=4` Podem veure que és tracta d'un mínim, ja que si busquem l'àrea quant `a->0` i quant `a->+\infty` veiem que: `\lim_{a\to 0}(3+a^2)^2/(4a)=3^2/0=+infty` `\lim_{a\to +infty}(3+a^2)^2/(4a)=+infty` ja que és un quocient de dos polinomis i el grau de dalt és més gran que el de baix O sigui que els valors de `g(a)` a l'esquerra i la dreta de `a=1` són més grans que `g(1) =>` `g(a)` té un mínim per `a=1` Per acabar de trobar el punt on hi ha el mínim ens falta trobar la `y` de la funció `y(1)=1/1^2+1=2` En el punt `(1,2)` el triangle que forma la reca tangent a `f(x)` i els eixos d'abscisses té una àrea `4` `u^2` El problema no ho demana, però el dibuix del problema seria: