18-(2020-setembre-4-5) Una empresa està treballant en el disseny d'unes càpsules de cafè. L'empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi `1`, traçant a continuació una corda `CD` paral·lela al diàmetre `AB` i incorporant el punt `E` en el punt mitjà de l'arc `CD`. D'aquesta manera queda traçat el pentàgon `ACEDB`, tal com es mostra en la figura.



a) Expresseu en funció de `x` i `h` l'àrea del pentàgon `ACEDB`.


b) Quina ha de ser la distància (indicada en la figura per `h`) a què s'ha de situar la corda `CD` de `AB` per tal que l'àrea del pentàgon `ACEDB` sigui màxima?


    a) L'àrea del pentàgon la podem descriure com l'aprea d'un trapezi més l'àrea d'un triangle.

    Àrea triangle `= (\text{base} \times \text{altura})/2` on la `\text{base}=2x` i l'`\text{altura}= \text{radi}-h`


    Àrea triangle = `(2x \times (1-h))/2=x-hx`

    Ja que `\text{radi}=1`


    Àrea trapezi `=((2+2x)\times h)/2= (1+x)·h =h+hx`


    Ja que la base gran mesura `2` radis i la base petita `2x`


    L'àrea del pentàgon:

    `x-hx+h+hx=x+h`



    b) Per trobar la distància `h` que fa que l'àrea sigui màxima hem de posar `x=f(h)` i ho podem fer ja que tenim un triangle rectangle amb catets `x`, `h` i hipotenusa `1 => x=sqrt(1-h^2)` el que fa que podem expressar l'àrea del pentàgon:


    `A(x)=sqrt(1-h^2)+h`

    Si ho derivem:

      `A'(h)=(-2h)/(2sqrt(1-h^2))+1=1-h/(sqrt(1-h^2))`

    Ho igualem a `0`

      `1=h/(sqrt(1-h^2)) => sqrt(1-h^2)=h => 1-h^2=h^2 => h=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2`

    Per demostrar que és un màxim podem calcular l'àrea per aquest valor:

    `A(sqrt(2)/2)=sqrt(1-2/4)+sqrt(2)/2=sqrt(1/2)+sqrt(2)/2=sqrt(2)`.

    I si cerquem valors a la seva esquerra i a la dreta, `A(0)=1` i `A(1)=1` que clàrament són més petits que `sqrt(2)`