Distància recorreguda per una bala de canó

Quan disparem un canó amb un cert angle, `a` i una velocitat, `\vec{V}` amb mòdul `V`, podem descomposar la seva velocitat en dues components, l'horitzontal i la vertical.

`\vec{V}=[V·cos(a), V·sin(a)]`

Galileu va descobrir que l'espai recorregut per una cosa que cau és: `e(t)=-1/2 g t^2+v_ot+e_0` sient:

`e(t)` la funció espai recorregut en funció del temps.
`g` l'acceleració de la gravetat que a nivell del mar `approx 9,81` `m/s^2`
`v_0` la velocitat inicial que en el nostre cas és `V·sin(a)`
`e_0` l'espai inicial, que, en el nostre cas situem l'inici del sistema de referència el lloc on es troba el canó, `e_0=0`

El que nosaltres volem saber és quanta estona, o sigui el temps, `t` que triga en tornar a caure la bala, o sigui, quan `e(t)=0` l'alçada de la bala torna a estar al nivell del canó. Suposem que el terra és pla. Si no ho fos caldria reconsiderar `e_0` i que `e(t)=0`.

El que cal fer, per saber el temps cercat és resoldre l'equació de segon grau:

`-1/2 g t^2+vsin(a)t=0`

`[-1/2 g t+vsin(a)]t=0`

Aquesta equació té dues solucions, la trivial, `t=0` que correspon a l'instant de disparar el canó, i:

`-1/2 g t+vsin(a)=0`
`-1/2 g t=-vsin(a)`
`t=(2vsin(a))/g`

I aquest temps és el que ha anat viatjant amb la velocitat horitzontal, `V·cos(a)` i l'espai total, `Espai=Velocitat · temps`.

`d=v·cos(a)·(2vsin(a))/g`
`d=(2v^2cos(a)·sin(a))/g`
I aquesta seria la fórmula que ens dona la distancia recorreguda, on arriba, una bala de canó disparada amb una velocitat, `V` i un angle del tub del canó, respecte l'horitzontal, de `a`.

Algú deu pensar que no és igual a la fórmula que es mostra. A prmer de batxillerat veureu unes fórmules trigonomètriques que relacionen operacions amb angles i raons trigonomètriques, es demostraran, i una d'elles diu que:

`sin(2a)=cos(a)·sin(a)`
La qual cosa fa que:

`d=(2v^2sin(2a))/g`

I, finalment el resultat del problema plantejat, `a=37º` i `V=350` `m/s^2`

`d=(2*350^2*sin(2*37))/(9,81) approx 24000` `m`; `24` `km`