![]() Es tracta de trobar quina és la trajectòria per anar d'`A` fins a `B` en el temps més petit, en un camp gravitatori constant i sense roçament. En primer lloc calcularem el temps per dos camins senzills. ![]() `T_1` Calculem el temps de la caiguda `a`. Per fer-ho i tenint en compta que és un moviment uniformment accelerat amb l'aceleració la de la gravetat `g`. Fem servir la fórmula: `t_1=sqrt((2a)/g)` I el temps per a recórrer l'espai `b` que considerem com un moviment uniforme amb velocitat constant. Per Per a calcular la velocitat: `v=gsqrt((2a)/g)` `v=sqrt(2ag)` I el temps serà: `t=e/v` `t_2=b/sqrt(2ag)` Per lo qual el temps total serà la suma dels dos temps: `T_1=sqrt((4a^2)/(2ag))+b/sqrt(2ag)` `T_1=(2a+b)/sqrt(2ag)` `T_2` En segon lloc fent una línia recta. ![]() Com s'ha de conservar l'energia la velocitat final serà la mateixa que en el cas anterior. Si partim de les dues equacions del movimient uniformement accelerat. En aquest cas, `a` es l'acceleració. De la segona obtenim que `a=v/t` substituint en la primera equació. `e=1/2vt` `t=(2e)/v` En el primer cas hem vist que `v=sqrt(2ag)` sent `a` l'altura de caiguda, el catet vertical del triàngle. Si donem valors concrets, per exemple `a=10` i `b=20` descobrim que:
`T_2=(2sqrt(a^2+b^2))/sqrt(2ag)=(2sqrt(10^2+20^2))/sqrt(2·10·20)=(2sqrt(500))/sqrt(400)=(20sqrt(5))/20=2'24` seg. El que confirma que el temps pot ser diferent. L'idea del problema de la braquistòcrona és: Trobar la trajectoria que minimitza aquest temps. |