Espiral triangular

El número áureo tiene una relación especial con todos los polígonos regulares cuyo número de lados es un múltiplo de 5, ya que para dibujar un pentágono regular, inscrito en una circunferencia, hay que utilizar la proporción áurea. Si un decágono regular lo dividimos en diez triángulos iguales, y tomamos uno de ellos, éste tiene la propiedad de que los dos ángulos iguales son de 72º, mientras que el ángulo desigual es de 36º, es decir, la mitad. El triángulo ABC es un triángulo de estas características, el ángulo que corresponde al vértice C es el de 36º, y los que corresponden a A y a B son los de 72º. Para dibujar la espiral, tenemos que dibujar la bisectriz del ángulo B, entonces obtenemos el triángulo isósceles DBC que tiene dos ángulos de 36º y uno de 108º. Con el compás, tomamos como centro de giro D, la abertura iría desde D a C, y así trazamos el arco CB. Ahora observamos que nos pasa como en el caso del rectángulo áureo, el triángulo DAB es semejante al ABC, por lo tanto repetimos la operación y dibujamos la bisectriz del ángulo A, obteniendo el triángulo isósceles ABE, que es semejante al DBC, y con centro en E trazamos el arco BA. Ahora el triángulo DEA, es semejante a los triángulos DAB y ABC, por lo tanto trazamos la bisectriz del ángulo D, y así........................................ el proceso continuaría indefinidamente.

Llegados a este punto debemos extraer algunas conclusiones, en primer lugar hemos de decir que los métodos de construir las dos espirales son equivalentes, ya que están basados en la misma idea, que es la construcción de una serie infinita de polígonos (Rectángulos áureos, triángulos áureos) semejantes. Y en segundo lugar, estos métodos de construcción con figuras semejantes nos recuerda mucho el crecimiento de los seres vivos, por lo tanto es de esperar que la proporción áurea esté fuertemente relacionada con el crecimiento armónico de los animales, las plantas y........ por supuesto los hombres.