Exercicis de repàs

 

Activitats resoltes / Exemples

· Resolució de triangles rectangles amb angles de 301, 60º o 45º.

- Exemple 1

La hipotenusa d'un triangle mesura 6 cm i un dels angles aguts, 30º. Resol el triangle.

Resolució:

Evidentment si l'angle C mesura 30º, l'angle B mesura 60º, i el A mesura 90º.

Per tant compleix :

- Exemple 2:

Un catet d'un triangle rectangle mesura 5 cm i un dels angles aguts, 45º. Resol el triangle.

Resolució:

Primer hem de veure que quan l'angle és de 45 º, els dos catets són iguals, per tant:

l'angle B = l'angle C i catet c = catet b

Llavors calculem la hipotenusa amb el teorema de Pitàgores i el triangle estarà resolt.

· Raons trigonomètriques d'un angle agut

- Exemple 3

Calcula x i y sabent que:

Resolució:

Es verifica que

multipliquem en creu i obtenim:

I per saber el valor de y, només hem de fer el teorema de Pitàgores:

- Exemple 4

Resolució:

 

· Relació entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle agut.

- Exemple 5

Resolució:

Primer calcularem el cosinus:

Ara que tenim el sinus i el cosinus, podrem calcular la tangent:

- Exemple 6

Resolució

En aquest cas haurem e buscar dos fórmules que relacionin el sinus i el cosinus, és a dir, un sistema:

Resolem el sistema pel mètode de substitució en la segona equació, i després se substitueix l'obtingut en la primera:

Per tant:

· Aplicacions de la trigonometria

- Exemple 7 (trigonometria aplicades a alçades i distàncies)

Volem determinar l'amplada d'un riu i disposem d'un teodolit i d'una cinta mètrica. Como la podem esbrinar?

Resolució

Primer de tot cal explicar que el teodolit es un aparell de precisió que ens permet mesurar angles que estiguin situats tan en un pla vertical com en un pla horitzontal. (Per a més informació visita l'apartat TEODOLIT d'aquesta mateixa pàgina web).

Ens col·loquem en una de les riberes del riu i ens posem davant d'un objecta visible situat a l'altre costat de la riba, com un arbre. Ens desplacem una distància, per exemple de 125 metres i mesurem amb el teodolit l'angle que forma amb l'arbre d'abans.
Dades que obtenim: d = 125 m i angle = 28º.

Per tant, ara només haurem de buscar quina fórmula ens relaciona els dos catets i l'angle en un triangle rectangle: la tangent.

- Exemple 8

Com podríem mesurar l'alçada d'una estàtua a la que no hi podem accedir al peu?

Resolució

Ens situem davant de la estàtua i mesurem l'angle que forma amb la horitzontal amb un teodolit, després ens dirigim uns metres cap a endavant, els mesurem, i tornem a observar l'angle amb el teodolit.

En aquests casos el que haurem de fer es un sistema que comprengui les mesura que volem esbrinar, en aquest cas la x. Per tant, hem de fer un sistema calculant la tangent dels dos angles que hem obtingut:

Ara calculem aïllant la x de la primera equació i substituint-ne el sedultat per la x de la segona equació:

Ara només cal calulcar la x per saber l'alçada de la estàtua.