|
|
Les funcions polinòmiques |
Factorització, arrels i gràfiques
Ja has fet servir el teorema del residu per factoritzar polinomis. A continuació, amb la calculadora Wiris, que ja coneixes, podràs comprovar la relació que hi ha entre la factorització, les arrels i les gràfiques de les funcions polinòmiques.
|
|
En aquesta finestra, pots introduir un polinomi i, a continuació, clicant sobre la fletxa vermella o prement Control + Retorn, apareixerà la seva factorització, les solucions reals de l'equació que resulta d'igualar el polinomi a zero, les arrels reals, les arrels complexes i, en una altra finestra, la gràfica de la funció polinòmica corresponent. Per iniciar el procés un altre cop has d'actualitzar la pàgina. |
Per començar, introdueix el polinomi P(x) = x3 + 2x2 - x - 2. Observa que els termes independents canviats de signe dels polinomis de primer grau de la factorització coincideixen amb les solucions i amb les arrels, que són reals. Observa també que els punts de talls amb l'eix d'abscisses són precisament les arrels del polinomi.
Activitat
1. Repeteix el procediment anterior amb els polinomis següents:
a) x2 + x - 6
b) - x3 - x2 + 4x + 4
c) x3 - 3x + 2
d) x4 + x3 - x2 + x - 2
En els apartats c i d de l'activitat anterior, hauràs pogut observar que la factorització és diferent que en els altres apartats.
En l'apartat c) la factorització és igual a (x-1)2 · (x+2). Aquest fet fa que les arrels només siguin x = -2 i x = 1. Es diu que aquesta última té multiplicitat 2, perquè el polinomi corresponent, (x-1), està elevat a 2. Posteriorment analitzarem amb més detall aquesta situació.
En l'apartat d) la factorització és igual a (x-1) · (x+2) · (x2+1). Aquest últim factor és de segon grau i no té solucions reals. Això es veu reflectit en la diferència entre les arrels reals i les complexes. Evidentment, només les arrels reals indiquen els punts de tall amb l'eix d'abscisses.
Arrels complexes i arrels reals
En aquest apartat analitzarem amb més detall la relació entre la factorització amb polinomis de segon grau i les arrels complexes.
Per observar la relació que hi ha entre el nombre d'arrels reals i imaginàries d'un polinomi i els punts de tall de la funció corresponent clica la fletxa vermella de la icona de la Wiris. Recorda que si tanques la finestra gràfica que sortirà, per tornar-la a veure cal que actualitzis la pàgina.
|
En la part superior del gràfic hi ha l'expressió de la funció polinòmica i la seva factorització. Aquestes expressions aniran canviant a mesura que moguis el punt vermell. Observa que el nombre total d'arrels (reals més imaginàries) és sempre igual al grau, que en aquest cas és 4. Observa també, que en algun moment, el nombre d'arrels és 4, però el nombre de punts de tall és 3. En aquest cas hi ha una arrel de multiplicitat 2. Les arrels de multiplicitat més gran que 1 les tractarem amb més detall en un apartat posterior. En quin moment el nombre
d'arrels imaginàries és igual al grau? |
|
Activitats
2. Prem la fletxa vermella de la icona següent, i relaciona els nombre d'arrels reals i imaginàries d'un polinomi de tercer grau amb els talls amb l'eix d'abscisses de la funció corresponent. Pot ser que, en aquest cas, el nombre d'arrels imaginàries sigui igual al grau? Per què?
Per tornar a veure el gràfic, abans actualitza la pantalla.
3. Indueix les relacions entre les arrels reals i imaginàries d'un polinomi i els talls amb l'eix d'abscisses de les funcions corresponents, segons que tinguin un grau parell o senar.
Arrels de multiplicitat més gran que 1
En algunes factoritzacions, es pot donar el cas que els polinomis estiguin elevats a un exponent més gran o igual a 2. Per exemple, la factorització de x3 - 3x -2 és igual a (x-2)·(x+1)2. Així direm que l'arrel -1 té multiplicitat 2.
És interessant observar que, segons quina sigui la multiplicitat de cada arrel, la funció polinòmica corresponent talla l'eix d'abscisses d'una forma diferent.
Per poder treballar amb la Wiris aquest concepte, clica la fletxa vermella de la icona de la Wiris. Recorda que si tanques la finestra gràfica que sortirà, per tornar-la a veure cal que actualitzis la pàgina.
|
En aquesta finestra interactiva que s'haurà obert, et presentem diversos exemples de funcions polinòmiques que tenen una arrel (-1) de multiplicitat més gran que 1. Si mous els punts verds que surten a la part superior dreta del gràfic, podràs triar els diferents graus i les diferents multiplicitats. En tots aquests casos,
la gràfica de la funció és tangent a l'eix
d'abscisses en el punt indicat per l'arrel de multiplicitat més
gran que 1. Fixa't, però que la forma de tallar l'eix és
diferent segons si la multiplicitat es parell o senar. És
independent del grau? Descriu aquesta situació i treu una
conclusió general. |
|