El darrer grup de relacions és el relacionat amb la noció d’equidistància i les seves variants, especialment la simetria. Amb elles es completa el coneixement d’una part substancial de les eines de construcció.

Activitats

1. El punt mitjà

Dibuixeu dos punts P i P’. 

Preneu l’eina Punt mitjà del grup Construccions i marqueu els dos punts. Anomeneu M al punt obtingut. Comproveu que M és equidistant de P i de P’.

Dibuixeu dos punts nous Q i Q’, i mireu d’obtenir el seu punt mitjà “a la euclidiana”, és a dir, només amb el regle i el compàs informàtic.
 

2. La mediatriu

Dibuixeu un segment AB.

Preneu l'eina Mediatriu del grup Construccions i marqueu el segment. Anomeneu m a la recta obtinguda.

Els punts de la mediatriu equidisten dels extrems del segment, com es veurà en l’ Exercici 8

Comproveu que el programa traça la mediatriu entre dos punts, i no li cal l'existència del segment. També traça directament la mediatriu d'un costat d'un triangle.

Dibuixeu un segment nou CD, i mireu de traçar la seva mediatriu “a l'euclidiana”, és a dir només amb el regle i el compàs informàtic.
 

3. La bisectriu

Dibuixeu un angle AOB.

Preneu l’eina Bisectriu del grup Construccions i marqueu successivament A, O i B (no us equivoqueu d’ordre!). Anomeneu b a la recta obtinguda.

Els punts de la bisectriu equidisten dels costats de l’angle, com es veurà a l’Exercici 9

També és possible fer la bisectriu només amb regle i compàs. Proveu-ho.

Comproveu que el programa traça la mediatriu només a partir de tres punts, i no necessita els segments entre ells.
 
 

4. La simetria central

Aquesta eina no es troba, en la versió original del programa, formant part del grup Construccions sinó del grup Transformacions. Però aquest és el lloc natural per explicar-la.

Creeu dos punts P i O. 

Preneu l'eina Simetria del grup Transformacions. Marqueu P i O i dieu P’ al punt obtingut.
Descriviu les relacions existents entre P, O i P’.

Creeu dos punts nous Q i R i traceu el punt simètric de Q respecte de R sense emprar aquesta eina, només amb el regle i el compàs. Veureu que no costa gens.

Obriu la figura SIC. Deformeu el triangle ABC i observeu el comportament del triangle A'B'C'.

Analitzeu i formuleu les relacions (d'igualtat i de paral·lelisme) existents entre els triangles ABC i A’B’C’, entre els seus angles i entre els seus costats. Encara que no sigui cap exercici per presentar, preneu-ne bona nota.
 

5. La simetria axial

Creeu un punt P i una recta r.

Preneu l’eina Simetria axial del grup Transformacions. Marqueu P i r i dieu P’ al punt obtingut.
Descriviu les relacions existents entre P, r i P’.

Creeu un altre punt Q i una altra recta s i traceu el punt simètric de Q respecte de s sense emprar aquesta eina, només amb el regle i el compàs. Veureu que no costa gens.

Obriu la figura SIA. Deformeu el triangle ABC i observeu el comportament del triangle A'B'C'.

Analitzeu i formuleu les relacions (d'igualtat i de paral·lelisme) existents entre els triangles ABC i A’B’C’, entre els seus angles i entre els seus costats. Encara que no sigui cap exercici per presentar, preneu-ne bona nota.

Féu més proves amb l'eina Simetria axial. Veureu que l'eix pot ser també un segment o una semirecta.
 
 
 

Resum

 

En aquesta pràctica heu d'aprendre: (A) A crear el punt mitjà, la mediatriu i la bisectriu (B) A crear la imatge d'un objecte per una simetria central i per una simetria axial (C) Les propietats d'equidistància incorporades a aquestes construccions.


 

___________________________________________________________________

Aclariments i notes tècniques

Aquest és un bon moment per comentar una prestació del programa Cabri-Géomètre que no s'utilitzarà en tot el curs i que es pot qualificar com a mínim de sorprenent. 

Es tracta de les eines desades en el grup Comprovacions:



Consisteixen en la possibilitat d'interrogar el programa sobre si s'acompleixen aquestes propietats per a alguns objectes:

Alineat: verifica si tres punts on cal fer clic estan alineats o no ho estan.

Paral·lel: verifica si dos objectes del tipus recta, segment, semirecta, costat d'un polígon, etc. on cal fer clic succesivament són paral·lels o no ho són.

Perpendicular: verifica si dos objectes del tipus recta, segment, semirecta, costat d'un polígon, etc. que on cal fer clic succesivament són perpendiculars o no ho són.

Equidistant: verifica si tres punts on cal fer clic són equidistants o no ho són.

Pertany: verifica si un punt pertany o no a un objecte.

Les respostes apareixen en una caixa de text un cop es fixa a la pantalla el requadre que la conté.

Aquest conjunt de comprovacions no funciona massa perfectament.