 23.
Es dibuixa un gran quadrat i s’omple cada casella amb un nombre,
seguint el patró que es mostra en el dibuix de la dreta. Quin dels
nombres següents no pot ser x? |
||||
| A) 128 | B) 256 | C) 81 | D) 121 | E) 400 |
En un quadrat 2 x 2 , x=4; en un quadrat 3 x 3, x=9;
en un quadrat 4 x 4, x = 16...
Observem que x va prenent com a valors els quadrat dels nombres naturals.
Com l'únic nombre que no és quadrat perfecte és 128,
aquesta és la resposta (A).
| 24. Si a i b són enters positius, cap no és divisible per 10, i ab = 10 000, llavors la suma a + b és | ||||
| A) 641 | B) 1000 | C) 1024 | D) 1258 | E) 2401 |
Si a i b no són divisibles per 10, ab = 2^4 · 5^4 = 16 · 625. Per tant a + b = 16 + 625 = 641 (A).
|
25. Seguint les instruccions de sota, quina serà la diferència x - y?
|
||||
| A) -2 | B) 2 | C) 998 | D) 1998 | E)  |
Del triangle 1 passem
a 8 i després a 10 i
després a 26
3 5
6 4 12 14 24 22.
Observem que x - y va prenent alternativament els valors -2, 2, -2, 2, -2, ... Després de fer 999 cops el procés la diferència serà -2 (A).
 26.
ABCD és un paral·lelogram. Si AA1 = 4 cm, DD1 = 5 cm i CC1
= 7 cm, quant mesura BB1? |
||||
| A) 9 cm | B) 11 cm | C) 12 cm | D) 16 cm | E) 21 cm |
Tracem una recta paral·lela a A1C1 que passi per A i una altra que passi per D. Anomenem B2 el punt de tall de la primera recta amb BB1 i C2 el punt de tall de la segona recta amb CC1. Els triangles obtinguts ABB2 i DCC2 són iguals perquè tenen un costat i dos angles iguals.
Hem descomposat el segment BB1 en dos parts: BB2 + B2B1, i a més BB2=CC2=CC1+D1D. Com B2B1= 4 cm, CC1=7 cm i DD1=5 cm, BB1 = 4+7+5=16 cm (D).
| 27. S’escriuen determinats nombres enters i positius a les cares d’un cub, i a cada vèrtex s’escriu el nombre resultant de multiplicar els tres nombres que hi ha a les cares adjacents. La suma dels nombres dels vèrtexs dóna 70. La suma dels nombres de les cares serà: | ||||
| A) 10 | B) 12 | C) 14 | D) 35 | E) És impossible saber-ho |
Siguin a1, a2, a3, a4, a5 i a6 els sis nombres escrits a les cares del cub, tal com pots veure al dibuix:
La suma dels nombres escrits als vèrtexs
serà:
a1·a2·a5+ a1·a2·a6+a1·a4·a5+a1·a4·a6+a3·a2·a5+
a3·a2·a6+a3·a4·a5+a3·a4·a6=70
Treiem doble factor comú:
a5·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)+a6·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)=70
(a5+a6)·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)=70
Tornem a treure doble factor comú:
(a5+a6)·[a1·(a2+a4)+a3·(a2+a4)]=70
(a5+a6)·(a1+a3)·(a2+a4)=70
Podem factoritzar 70 en tres factors únicament com 70=2 · 5 · 7 , que corresponen als 3 factors de la darrera igualtat.
Si sumem a5+a6+a1+a3+a2+a4=2+5+7=14. (C)
| 28. El nombre 2004 és divisible per 12, i la suma dels seus dígits és igual a 6. Quants nombres de quatre dígits tenen aquestes dues propietats? | ||||
| A) 10 | B) 12 | C) 13 | D) 15 | E) 18 |
Els nombres han de tenir els dos darrers dígits múltiples de 4 i les seves xifres han de sumar 6: 1500, 2400, 3300, 4200, 5100, 6000, 1104, 2004, 1212, 2112, 3012, 1320, 2220, 3120, 4020, 1032, 1140, 2040.
En total són 18 (E).
 29.
En el dibuix de la dreta, el triangle és equilàter. Per
obtenir l’àrea del cercle gran cal multiplicar l'àrea
del cercle petit per |
El radi del cercle gran (R) és quatre vegades el radi del cercle petit (r). Com l'àrea del cercle gran és pi · R^2 = pi (4R)^2 = pi · 16 r^2, la resposta és 16 (B).
| 30. Quin és l’últim dígit diferent de zero del producte dels 100 primers enters positius? | ||||
| A) 2 | B) 4 | C) 6 | D) 8 | E) 9 |
Aquí he trobat un error. Calculat amb l'Excel, 100!=9,33262154439442
· 10^157,
el producte té com a darrer dígit diferent de 0 un 2 (A) però
segons els organitzadors hairia de ser 4 (B) ???
 |
 |