Cangur 2004 - Nivell 2 - Qüestions de 5 punts
21. Una persona va de la ciutat a la platja a 30 km/h. En el viatge de tornada la seva velocitat és de 10 km/h. Quina és la velocitat mitjana de tot el viatge (anada i tornada)? A) 12 km/h B) 15 km/h C) 20 km/h D) 22 km/h E) 25 km/h Si diem x a la distància recorreguda, hem recorregut 2x km en x/30 hores d'anada i x/10 hores de tornada. Hem trigat x/30 + x/10 = 4x/30 hores en total. La velocitat mitjana serà 2x/(4x/30) = 60x/4x = 15 km/h (B).
22. En Jofre va decidir endreçar algunes revistes seves al prestatge. Aquestes revistes tenen 48 o 64 planes cada una. Quin dels nombres següents podria ser el total de planes de les revistes del prestatge? A) 500 B) 512 C) 532 D) 580 E) 600 El nombre de planes ha de ser del tipus 48 m + 64 n , on m i n són nombres naturals. L'únic nombre que es pot escriure així és 512 = 48 · 4 + 64 · 5= 192 + 320. (B)
23. Es dibuixa un gran quadrat i somple cada casella amb un nombre, seguint el patró que es mostra en el dibuix de la dreta. Quin dels nombres següents no pot ser x?
A) 128 B) 256 C) 81 D) 121 E) 400 En un quadrat 2 x 2 , x=4; en un quadrat 3 x 3, x=9; en un quadrat 4 x 4, x = 16...
Observem que x va prenent com a valors els quadrat dels nombres naturals. Com l'únic nombre que no és quadrat perfecte és 128, aquesta és la resposta (A).
24. Si a i b són enters positius, cap no és divisible per 10, i ab = 10 000, llavors la suma a + b és A) 641 B) 1000 C) 1024 D) 1258 E) 2401 Si a i b no són divisibles per 10, ab = 2^4 · 5^4 = 16 · 625. Per tant a + b = 16 + 625 = 641 (A).
25. Seguint les instruccions de sota, quina serà la diferència x - y?
A) -2 B) 2 C) 998 D) 1998 E) Del triangle 1 passem a 8 i després a 10 i després a 26
3 5 6 4 12 14 24 22.Observem que x - y va prenent alternativament els valors -2, 2, -2, 2, -2, ... Després de fer 999 cops el procés la diferència serà -2 (A).
26. ABCD és un paral·lelogram. Si AA1 = 4 cm, DD1 = 5 cm i CC1 = 7 cm, quant mesura BB1?
A) 9 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 16 cm E) 21 cm Tracem una recta paral·lela a A1C1 que passi per A i una altra que passi per D. Anomenem B2 el punt de tall de la primera recta amb BB1 i C2 el punt de tall de la segona recta amb CC1. Els triangles obtinguts ABB2 i DCC2 són iguals perquè tenen un costat i dos angles iguals.
Hem descomposat el segment BB1 en dos parts: BB2 + B2B1, i a més BB2=CC2=CC1+D1D. Com B2B1= 4 cm, CC1=7 cm i DD1=5 cm, BB1 = 4+7+5=16 cm (D).
27. Sescriuen determinats nombres enters i positius a les cares dun cub, i a cada vèrtex sescriu el nombre resultant de multiplicar els tres nombres que hi ha a les cares adjacents. La suma dels nombres dels vèrtexs dóna 70. La suma dels nombres de les cares serà: A) 10 B) 12 C) 14 D) 35 E) És impossible saber-ho Siguin a1, a2, a3, a4, a5 i a6 els sis nombres escrits a les cares del cub, tal com pots veure al dibuix:
La suma dels nombres escrits als vèrtexs serà:
a1·a2·a5+ a1·a2·a6+a1·a4·a5+a1·a4·a6+a3·a2·a5+ a3·a2·a6+a3·a4·a5+a3·a4·a6=70
Treiem doble factor comú:
a5·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)+a6·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)=70
(a5+a6)·(a1·a2+a1·a4+a3·a2+a3·a4)=70
Tornem a treure doble factor comú:
(a5+a6)·[a1·(a2+a4)+a3·(a2+a4)]=70
(a5+a6)·(a1+a3)·(a2+a4)=70Podem factoritzar 70 en tres factors únicament com 70=2 · 5 · 7 , que corresponen als 3 factors de la darrera igualtat.
Si sumem a5+a6+a1+a3+a2+a4=2+5+7=14. (C)
28. El nombre 2004 és divisible per 12, i la suma dels seus dígits és igual a 6. Quants nombres de quatre dígits tenen aquestes dues propietats? A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 18 Els nombres han de tenir els dos darrers dígits múltiples de 4 i les seves xifres han de sumar 6: 1500, 2400, 3300, 4200, 5100, 6000, 1104, 2004, 1212, 2112, 3012, 1320, 2220, 3120, 4020, 1032, 1140, 2040.
En total són 18 (E).
29. En el dibuix de la dreta, el triangle és equilàter. Per obtenir làrea del cercle gran cal multiplicar l'àrea del cercle petit per
El radi del cercle gran (R) és quatre vegades el radi del cercle petit (r). Com l'àrea del cercle gran és pi · R^2 = pi (4R)^2 = pi · 16 r^2, la resposta és 16 (B).
30. Quin és lúltim dígit diferent de zero del producte dels 100 primers enters positius? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 Aquí he trobat un error. Calculat amb l'Excel, 100!=9,33262154439442 · 10^157,
el producte té com a darrer dígit diferent de 0 un 2 (A) però segons els organitzadors hairia de ser 4 (B) ???