Unitat 5 - Activitat 9

ACTIVITAT 5.9
RETROBEM UN TEOREMA ATRIBUÏT A TALES DE MILET

Un dels teoremes més antics que es coneixen s'atribueix a Tales (620-560 aC, aprox.). No és el clàssic teorema de Tales sobre la proporcionalitat dels segments interceptats per un feix de rectes paral·leles, sinó un altre que ben segur que coneixes:
Un angle inscrit en una semicircumferència és sempre recte

No sabem exactament quin tipus de demostració va fer Tales d'aquest teorema (ni tan sols si el va demostrar o només enunciar). Nosaltres farem una demostració utilitzant el producte escalar. Concretament, veurem que el producte escalar dels dos vectors i que formen aquest angle inscrit en la semicircumferència és sempre zero; aleshores podrem concloure que els dos vectors i són sempre perpendiculars.

La demostració és molt senzilla:
Descomponem el vector en la suma =+, i el vector en la diferència = -(veure figura).
Si aleshores fem el producte ·, i utilitzem les propietats del producte escalar, tenim
·= (+)·( -) =· - ·+ ·+·=² -² = ||² - ||² = 0 Þ ^

ACTIVITAT INTERACTIVA

Tens un triangle PQR inscrit en una semicircumferència de radi 10. Els dos vectors i són perpendiculars ja que el seu producte escalar és zero. Pots moure el punt R sobre la circumferència.

1) Situa R en punts amb coordenades enteres, com R(8, 6), R(6, 8) i R(0, 10), i comprova que el producte escalar dels dos vectorsiés sempre zero (per tant, són perpendiculars).

2) Situa desprès R en punts de coordenades no enteres i comprova que aquest producte escalar és zero o un valor molt petit (hauria de ser zero, i si no ho és exactament, és degut als arrodoniments que fa l'applet).

SOLUCIÓ

PROPOSTA DE TREBALL

(Vols un document Word preparat per fer aquest treball?)

Utilitzant productes escalars, demostra que les dues diagonals d'un rombe són sempre perpendiculars.

Indicació: fixat en la figura, posa les dues diagonals ₁ i₂ com a combinació lineal dels vectorsi, calcula el producte escalar ₁·₂ i comprova que val zero.

Per què aquesta demostració no es pot aplicar a un romboide?

FI DE L'ACTIVITAT 5.9
RETROBEM UN TEOREMA ATRIBUÏT A TALES DE MILET

Menú inicial
Activitat anterior

Menú de la unitat 5
Activitat següent