Si en l'activitat anterior hem demostrat
un teorema de Tales utilitzant productes escalars, en aquesta demostrarem
el teorema de Pitàgoras, en forma directa i en forma inversa,
també utilitzant productes escalars.
Teorema de Pitàgoras en
forma directa:
|
|
Sigui un triangle ABC
rectangle en A, i siguin =
i =,
és a dir, els catets (veure la figura). Aleshores podem posar
la hipotenusa com
la diferència =
-;
calculem el seu mòdul al quadrat:
||2
= |-|2
= (-)2
=2 - 2·+2
=2+2
= ||2+
||2
ja que al ser el dos vectors
i perpendiculars,
el seu producte escalar és zero. Obtenim doncs que el quadrat
de la hipotenusa és la suma dels quadrats dels catets.
Teorema de Pitàgoras en
forma inversa:
Sigui un triangle ABC que verifica ||2
= ||2+
||2 ,
(essent =,
=
i ==-).
Aleshores, com que sempre es verifica
||2
= |-|2
= (-)2
=2 -
2·+2
= ||2
- 2·+
||2
ha de ser necessàriament 2·,
per tant ·=
0, els dos vectors
i són perpendiculars,
i el triangle ABC és rectangle amb angle recte en
A.
|
ACTIVITAT INTERACTIVA
Aquest applet mostra que si
dos vectors i
són perpendiculars (és a dir, ·=
0) aleshores entre ||,
|| i |-|
es verifica la relació:
|-|2
= ||2+
||2
(que anomenarem relació de Pitàgoras)
i recíprocament.
Quines de les següents parelles
de vectors i
verifiquen la relació de Pitàgoras |-|2
= ||2+
||2 ?
1)=(2,5)
i =(7,-3)
2)=(-2,5)
i =(10,4)
3)=(2,4)
i =(6,-2)
4)=(6,9)
i =(3,-2)
SOLUCIÓ
|
|
|