| El primer matemàtic que ens va proporcionar un mètode prou rigorós per obtenir el valor de
Pi va ser el gran matemàtic grec Arquimedes de Siracusa. Arquimedes va ser un científic molt respectat a la seva època i són moltes les llegendes que ens han arribat sobre la seva vida. Per exemple s'explica que va defensar la seva ciutat de l'atac dels romans cremant les veles dels seus vaixells a gran distància fent servit miralls parabòlics aconseguint el mateix efecte que quan es cremen papers amb una lupa. També es diu que amb grans grues era capaç de bolcar els vaixells enemics. |
|
Si vols saber més coses d'aquest matemàtic pitja aquest enllaç
Per saber quina és la relació existent entre el perímetre i el diàmetre de la circumferència és important tenir una bona mesura d'aquest perímetre. Abans ja hem comentat les dificultats per realitzar aquesta mesura. Els polígons regulars, en canvi, són fàcils de mesurar: només cal mesurar un costat i multiplicar per la quantitat de costats. Aquests polígons (que sempre tenen tots els costats i tots els angles iguals) sempre "encaixen" amb la circumferència. Sempre es poden circumscriure (dibuixar-los per fora amb els costats tangents) i inscriure (dibuixar-los per dins amb els vèrtexs sobre la circumferència).
El mètode proposat per Arquimedes es basa en aquestes observacions:
- El perímetre de la circumferència és més gran que el del polígon inscrit i més petit que el del circumscrit. Es pot obtenir una bona aproximació fent la mitjana entre els dos.
- Quant més gran sigui el nombre de costats del polígon es va ajustant millor a la circumferència: cada vegada s'assemblen més. Per tant, si el nombre de costats del polígon és prou gran la diferència entre el perímetre aproximat que anem que anem calculant i el real s'anirà reduint.
- Només cal anar dividint aquests perímetres pel diàmetre de la circumferència per obtenir aproximacions cada vegada millors de
Pi. Arquimedes va arribar a calcular fins a un polígon de 96 costats. Però el més meritori és que ens va proporcionar un mètode que podem portar tant lluny com vulguem: quants més costats calculem tindrem un valor de
Pi més exacte.
|
Vols provar amb uns quants polígons? Amb aquest programa podràs provar el mètode d'Arquimedes. Només cal que escriguis el nombre de costats del polígon inscrit i el del circumscrit. Si vols que siguin iguals has de triar l'opció "Lligat" del menú. El programa calcula entre quins valors es troba l'àrea i el perímetre dels polígons inscrit i circumscrit per un radi unitat. Per tant, entre quins valors es troba Pi.
Atenció: aquest applet no funciona bé amb algunes versions de java! Pots provar a la pàgina original. Applet copiat de la pàgina http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html
|
Juga una mica amb el programa i investiga després algunes qüestions:
- Observa quins valors de Pi s'obtenen amb un polígon de 96 costats com el que va provar Arquimedes.
- Observa, també, com a mesura que augmentes la quantitat de costats els polígons i la circumferència tendeixen a coincidir.
- El matemàtic xinès Tsu Txung Txih, fa uns 1500 anys, va arribar a calcular Pi amb un polígon de 24 576 costats. Més tard, fa uns 400 anys, el matemàtic francès François Viète va fer el mateix amb un altre de 393 216 costats. Prova'ls y observa quants decimals útils s'obtenen.
Tsu Txung Txih |
François Viète |
- Aquí tens els primers 30 decimals de Pi: 3,141592653589793238462643383279. Intenta esbrinar fins a quants costats cal arribar per obtenir un decimal vàlid (3,1), dos decimals correctes (3,14), tres decimals, quatre, etc.