|
Principis bàsics:
- Angles d'un triangle:
- Angles inscrits en una circumferència:
Més coses:
Llista de problemes per resoldre amb Cabri (del curs de Xavier Vall):
- 1) Donat un triangle equilàter es considera
un punt interior i des d'aquest les tres perpendiculars als costats.
Quan val la suma d'aquests tres segments?
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 2) Donat un quadrilàter qualsevol,
es considera el quadrilàter que té per vèrtexs
els punts mitjos dels costats del quadrilàter original. Podries
caracteritzar els quadrilàters així obtinguts? per què?
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 3) En el pati d'una escola hi ha dos arbres i una paret. Els
nens utilitzen el següent joc: surten d'un dels arbres per anar
a tocar la paret i després a l'altra arbre en el mínim
temps possible. Quina seria la trajectoria guanyadora? [PUIG ADAM, P.
- REY PASTOR, J. Elementos de Geometria. pàg 82]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 4) En un triangle, inscriviu un quadrat que tingui dos vèrtex
sobre un costat i els altres dos sobre cada un dels altres dos costats.
[POLYA, G. Cómo plantear i resolver problemas. pàg
41]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 5) Donades tres rectes paral·leles, construiu un triangle
equilàter de manera que tingui un vèrtex sobre cada una
de les rectes.
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 6) Donades dues circumferències traceu les seves tangents
comunes.
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 7) Donat un cercle, construiu tres cercles interiors iguals
que siguin mútuament tangents i tangents a l'inicial. Feu el
mateix amb 4 i 6 cercles interiors.
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 8) Donades dues circumferències concèntriques
construir un quadrat inscrit en les dues, és a dir, que tingui
dos vèrtex en una circumferència i els altres dos en l'altra.
[Proposat per en David Barva]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 9) Un vaixell divisa tres punts A, B i C de la costa que té
situats sobre un plànol, i mesura l'angle entre les visuals de
A i B, i entre les de B i C. De quina manera pot trobar la seva situació
en el plànol? [PUIG ADAM, P. Curso de geometria métrica.
Pàg 86 Problema del plànol (Potenot)]
Solució
- 10) Donat un triangle qualsevol sobre cada un dels costats
es construeix un triangle equilàter. Què pots dir del
triangle format pels centres dels tres triangle equilàters? Pots
justificar-ho? [problema de Napoleon]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 11) Donat un triangle qualsevol es consideren triangles equilàters
externs sobre cada un dels costats. Ara unim cada vèrtex extern
dels triangles equilàters amb el vèrtex oposat al costat
sobre el que està construït. Els tres segments són
concurrents i a més formen 6 angles de 60o.[punt de Fermat]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 12) Donada una circumferència es consideren dues cordes
AB i BC (on BC és més gran que AB). Sigui M el punt mig
de l'arc ABC i F el peu de la perpendicular de M a la corda BC. Proveu
que F és el punt mig del segment AC en el supòsit que
rectifiquéssim les dues cordes. [problema de la corda trencada
d'Arquímedes]
Exploració del problema amb Cabri.
Solució
- 13) Donat un paral.lelogram es construeixen sobre cada un
dels costats quadrats. Què pots dir del quadrilàter format
pels centres dels quatre quadrats? Pots justificar-ho?
Solució
- 14) Donat un quadrilàter qualsevol es consideren les diagonals
del quadrilàter que té per vèrtexs els centres
dels quadrats construïts sobre cada un dels costats. Què
observes? Pots justificar-ho?
- 15) Un jugador de futbol amb la pilota segueix una trajectòria
recta i té la porteria buida, en quin punt de la seva trajectòria
ha de xutar a porta per tenir el màxim de garanties de marcar?
Solució enviada per Ricard Peiró
el 10 de novembre de 2003.
- 16) Construir un triangle donats dos costats, sabent que les medianes
d'aquests costats són perpendiculars.
En Ricard Peiró ens ha enviat la solució, el 7 de juny de 2004
- 17) Donat un triangle construir dues circumferències iguals
mútuament tangents i que siguin tangents a dos costats.
- 18) Construir un triangle rectangle del que coneixem un catet
i la projecció de l'altre catet sobre la hipotenusa. (És
meu i no el sé fer)
En Ricard Peiró ens ha enviat la solució,
el 15 d'octubre del 2003
Segona solució enviada per Ricard
Peiró el 24 d'octubre de 2003
- 19) Donat un triangle i un punt trobar una recta que passi pel punt
i divideixi el triangle en dues parts equivalents. (proposat per la
Victòria)
Aproximacions al problema amb GeoGebra
- 20) En un billar circular hi ha dues boles. Trobar quina trajectòria
ha de seguir una de les boles per tal de topar amb la segona bola després
d'haver fet dues bandes. (Tampoc el sé fer)
PROBLEMES AFEGITS A PARTIR DE MAIG DEL 2005
- 21) Sobre el costat d'un quadrat dibuixem un triangle equilàter interior al quadrat i d'igual costat. Sobre un costat consecutiu de l'anterior dibuixem un altre triangle equilàter de costat igual, però aquest cop exterior al quadrat. Unim els dos vèrtex dels dos triangles que no són vèrtex del quadrat inicial. Demostreu que la recta que els conté passa pel vèrtex del quadrat que no és vèrtex de cap dels dos triangles equilàters. (de la web del programa GeoGeobra - maig 2005)
Solució amb Geogebra
- 22) Donat un triangle ABC, considerem per cada punt M del segment AB un punt N de la semirrecta BC, exterior al segment BC i tal que la les distàncies CN i BM siguin iguals. Què es pot afirmar de les mediatrius dels segments MN?
(problema del Wiki de GeoGebra - maig 2005)
Ricardo Barroso Campos ens ha enviat una solució amb Cabri, el 9 de juny de 2005.
- 23) Dues rectes es tallen perpendicularment en un punt interior a una circumferència, determinant quatre triangles rectangles amb les hipotenuses inscrites en la circumferència. Demostreu que l'altura sobre la hipotenusa de cada trinangle és una mediana del triangle oposat pel vètex (UPC - Examen parcial de Geometria - novembre 2004).
Dibuix i esboç de solució amb GeoGebra
- 24) Fixant un collaret en un un punt P dibuixem triangles isòsceles amb els costats desiguals paral·lels. Quin és el lloc geomètric dels extrems dels costats desiguals? (Claudi Alsina, novembre 2006)
Solució amb Geogebra
- 25) Donats dos segments a i b, construir un triangle rectangle de manera que la bisectriu d'un dels angles aguts talli el catet oposat formant dos segments de longituds a i b. (gener 2007 - del llibre de dibuix de 1r de batx.)
Explorant el problema
Solució falsa 1
Solució falsa 2
Observacions Pili
Solució Pili
Observancions Viki
Solució Viki
Solució Xavier Valls
Observacions Xavier i dues noves propostes de problemes
|