Las funciones trigonométricas

En este apartado, hablaremos de las funciones trigonométricas en general y sus características. Veremos que ocurre cuando se van variando los diferentes parámetros de una función del tipo f(x)=A· sin(bx). Relacionaremos todo esto con las ondas sonoras y el movimiento armónico simple.

Las funciones trigonométricas sirven como modelo pera expresar matemáticamente las características de las ondas sonoras. Es por eso que vamos a hacer un pequeño estudio de sus propiedades.

Comencemos per la más simple:

La función f(x)=sin x tiene la representación gráfica siguiente:

La gráfica de la función se repite al incrementar o disminuir el valor de x. A partir de la que se encuentra en el intervalo [0, 2], se podría generar todo el resto. Este fenómeno ocurrirá también en las ondas sonoras. 

Esto es debido a la propiedad siguiente: sin x = sin (2+x), para cualquier ángulo x. Diremos que la función f(x) = sin x es una función periódica de periodo 2. Esto viene a decir que la onda se repetirá cada 2.

Pero, que pasará si aumentamos el valor que multiplica a la x?

Tomemos, por ejemplo, la función f(x) = sin 2x

En este caso, el periodo es la mitad del de la función anterior, es decir . De 0 a  hay una oscilación completa.

Físicamente, diremos que su frecuencia es el doble que la anterior.

Si, en cambio, multiplicamos sin x por un número cualquiera observaremos que la función experimenta unos cambios diferentes.

Consideremos la función f(x) = 3 sin x:

Gráficamente, ha sufrido una deformación. Ha habido un estiramiento en dirección vertical.

El periodo continúa siendo el mismo que el de la función f(x) = sin x, es decir, la onda continúa teniendo la misma longitud pero podemos ver que ha aumentado su amplitud de onda (A). En el lenguaje musical diremos que ha aumentado su intensidad.

Veamos que pasa cuando sumamos dos funciones del tipo f(x) = sin ax como, por ejemplo,  f(x)=sin x + sin 2x

La función continúa teniendo el mismo periodo (2) pero la forma de la onda ha cambiado.

Observación:

Las funciones del tipo f(x)=sin nx, donde n  es un número natural, como las que hemos visto anteriormente, siempre tendrán como periodo 2/n. De este hecho deducimos la siguiente tabla:
 

f(x)	T
sin x	2
sin 2x
sin 3x	2/3
...	...
sin nx	2/n

Si queremos expresar una función trigonométrica de periodo T, esta vendrá dada por la expresión: f(x)=sin (2/T x) , o bien haciendo servir el hecho que la frecuencia f=1/T, la expresión se transforma en: g(x)=sin (2f x)

Igualmente, con las funciones del tipo f(x)=sin nx + sin mx, el periodo será 2/MCD(n,m).

Ejemplo: f(x)=sin x + sin 2x + sin 3x Sabiendo que el M.C.D. de 1, 2 y 3 es 1, podemos deducir que su periodo será 2.

Por tanto, si en una función del tipo f(x)=sin ax le sumamos funciones del tipo f(x)=sin k·ax el periodo (y, por tanto, la frecuencia) continúa siendo el mismo.

Ejemplo: f(x)=sin 4x + sin 6x.  Sabiendo que el M.C.D. de 4 y 6 es 2, podemos deducir que su periodo será 2/2=. Como se puede ver en las imágenes de abajo.

De la misma forma, si a una función del tipo f(x) = sin ax le sumamos funciones del tipo f(x) = sin k·ax con amplitud cada vez más pequeña nos aparecerán modelos de ondas parecidas a les producidas por los instrumentos musicales. Estos múltiplos que se le sumen a la onda primaria reciben el nombre de armónicos.

Cada sonido instrumental tendrá una forma de onda determinada debido a la variedad de los armónicos que se le han añadido a la onda principal, lo que nos permitirá reconocer de que instrumento procede. En el lenguaje musical, este fenómeno recibe el nombre de timbre.