• Des d'antiguitats molt remotes se sap que en totes les circumferències la relació entre la seva longitud y el seu diàmetre dóna sempre el mateix resultat; aquest resultat s'ha vingut designant amb la lletra grega p, que és la inicial de la paraula grega perifèria (periferia). El valor de p ha estat una preocupació constant entre els matemàtics des del segle III abans de Crist; durant molts segles es va pensar que p era igual a alguna fracció de dos enters i va haver molts intents per trobar-la, però només es van obtenir aproximacions notables, tales com
  • p = 22/7 = 3,1428... (Arquimedes, segle III aC.)
  • p = 377/120 = 3,14166..., (Ptolomeo, segle II dC.)
  • p = 355/113 = 3,141592.., (Tsu Ch'ung-Chi, segle V, dC)

  Potser el cas més sorprenent sigui el de l'anglès William Shanks, qui va dedicar 20 anys de la seva vida a l'obtenció de xifres decimals de p. A finals del segle XIX, va donar els 707 primers decimals de p, però, en 1945, es va descobrir que havia comès un error al decimal 528, i a partir d'aquest els altres eren incorrectes.

• En 1767 el matemàtic Johann Lambert va demostrar que p no es podia expressar com a fracció, és a dir, que p era irracional, per la qual cosa tots els esforços es van centrar ja en aconseguir fórmules cada vegada millors per aconseguir bones aproximacions de p. De fet, algunes fórmules ja havien sigut obtingudes abans de demostrar la irracionalitat de p, tales com

• Tot nombre obtingut després de un nombre finit de passos a partir d'enters, usant només amb ells les operacions suma, resta, multiplicació, divisió i radicació, s'anomena nombre algebraic (Dit d'altra manera, els nombres algebraics són aquells que són solució d'alguna equació polinòmica de quoficients enters.). Euler, en el segle XVII, va anomenar transcendents als nombres que no eren algebraics, és a dir, transcendents perquè transcendeixen més enllà de les operacions habituals de l'àlgebra. Fins al segle XIX no es va conèixer el primer nombre transcendent, i va ser a finals del mateix segle, en 1882, quan Lindemann va demostrar que p es transcendent.
• El descobriment de Lindemann va permetre resoldre de pas un dels tres problemes clàssics de l'antiguitat, el de la quadratura del cercle; en ser p transcendent, la quadratura del cercle era impossible.
• p apareix en moltes qüestions que no tenen res a veure amb circumferències. Per exemple,
  • Imagina que agafem a l'azar dos nombres en la sèrie natural (1, 2, 3, 4, ...). Imagines quàntes possibilitats tenim de què els nombres agafats no tinguin cap factor comú? La resposta es sorprenent (i difícil de trobar): En el 6/p% = 1,91% dels casos haurem agafat dos nombres primos entre sí (o sigui, sense cap factor comú).
  • Imagina que agafem a l'azar dos nombres decimals positius menors que 1. Te imagines quant val la probabilitat que els dos nombres junt amb el nombre 1 pueguin ser els costats d'un triangule obtusangle?. La resposta torna a ser sorprenent: És (p-2)/4=0'2878, o sigui serà possible en el 28'78% dels casos.
• Una anècdota curiosa sobre el nombre p.
• Va succeir l'any 1897 a Indiana, EE.UU., i el protagonista fou un metge de nom Goodwin, qui va creure que havia realitzat un descobriment sobre la relació entre el cercle i la circumferència, cosa que implicava un impressionant resultat sobre p. Va portar el cas al terreny polític demanant al seu representant a la Assemblea General d'Indiana que presentés com a proposició de Llei local el següent text: "L'Assemblea General de l'estat d'Indiana decreta que se ha descobert que l'àrea del cercle és igual al quadrat que té el costat de longitud igual al quadrant de la circumferència". És immediat deduir d'això que p=4. La proposició es va presentar i va passar a la aprovació d'un primer comitè, posant-se així en marxa un procediment per a ser aprovada pel ple del Senat, amb la qual cosa hauria adquirit el rang de llei. Afortunadament per "als pares de les lleis", va ser retirada en l'últim moment, cosa que va evitar caure en un ridícul que hauria adquirit el rang d'històric.


• Veure més sobre el nombre p

Definició 1

Definició 2

Definició 3

Alguns exemples d'aplicació

• T'has preguntat alguna vegada quina és la forma més rentable de cobrar l'interès ofert per un Banc?
• Si invertim un capital a un interès compost anyal del 10% (tema del que tothom sembla que en sap), la fórmula que estableix quant recollirem després de n anys és

• Ara bé, potser fora millor si ens paguessin cada 6 mesos a raó del 5%? Seria encara millor si ens paguessin cada mes a raó de l' 1%? Potser millor que ens el paguessin diàriament al 10/365% =0' 0274%? Si pensem en quant recolliríem en un sol any, posant 1 euro, veiem que

• Ja posats, per què no imaginar que ens donen l'interès per hores, o per minuts, o per segons, o...fins i tot de manera continua!? No podria ser aquesta la millor de les formes possibles? El cert és que sí, que és la forma que ens donaria el millor rendiment possible per a un 10% anyal. Aquest rendiment, per a 1 euro seria, lògicament, el valor límit de l'expressió quan n tendeix a l'infinit, el qual resulta ser .

• Aquest creixement continu al qual ens acabem de referir no té res d'estrany al món animal. Els models proposats pels economistes, biòlegs, etc per a estudiar creixements de poblacions solen basar-se en la idea anterior, i acaben en fórmules que, inevitablement, inclouen potències del nombre e amb la variable temps a l'exponent.

• T'has dit alguna vegada com van arribar els científics a una fórmula per esbrinar l'edat d'un esquelet, un fòssil, etc? Saps que també el coneixement del nombre e va ser fonamental?
  • Cap a la meitat del segle XX, el químic Libby va descobrir el carboni-14, un isòtop radioactiu del carboni que desapareix lentament (la seva vida mitjana és de 5568 anys, és a dir, una quantitat donada de C14 triga 5568 anys a reduir-se a la meitat). El C14 reacciona amb l'oxigen a les capes altes de la atmosfera donant diòxid de carboni radioactiu, el qual entra a la superfície de la Terra, en la qual es desenvolupa la vida. Libby deia: Com que les plantes viuen del diòxid de carboni, tindran totes alguna quantitat de radioactivitat, i el mateix succeirà amb els animals terrestres, ja que viuen d'elles. Mentre un ésser sigui viu, anirà reposant el C14 que perdi, però quan l'ésser és mort, només es produirà en ell una pèrdua contínua i lenta de C14.
  • Una vegada que els químics van aconseguir arribar a mesurar la quantitat de C14 continguda en un ésser no viu, com que es coneixia la velocitat de desintegració del C14, es podia pensar en arribar a una equació que els hi donés com a solució el temps necessari per a que en aquest ésser quedés només aquesta quantitat de C14, suposant raonablement que en els animals i plantes vius del passat existien quantitats similars a les d'ara. Tan sols quedava, doncs, trobar una fórmula que involucrés la quantitat inicial (CI) de radioactivitat, la quantitat actual (CA) i el temps (t). Doncs bé, la fórmula trobada va ser:
    • 
    (A la fórmula, Ln2 = 0'69315 és el nombre al que s'ha d'elevar e per a obtenir un resultat igual a 2)

• El nombre f, o nombre d'or, es una de las dos soluciones de la equació X ² = 1-X.
  Concretamente,

La otra solución es, precisamente, 1/f = 1,618...

• El nombre f aparece en campos tan variados como los reinos vegetal y animal, la poesía, la música, la arquitectura, el arte, etc. y se designa con la letra griega "fi" en honor de Fidias, considerado el escultor de las obras más perfectas de la antigua Grecia.
• Desde hace cinco segles, el rectángulo considerado como "el más bello" es aquel en el cual la relación entre la altura y la anchura da resultat igual a f.
• El rectángulo "más bello" tiene la propiedad de que al quitarle el cuadrado más grande posible, o sea, el de lado igual al lado menor, resulta otro rectángulo más pequeño que también es de "máxima belleza" (Fíjate en la igura 2)
• Así, podriamos continuar el proceso de división con este rectángulo menor e iríamos obteniendo rectángulos cada vez más pequeños, los cuales serían siempre de "máxima belleza". Luego, uniendo los extremos de esos cuadrados obtendríamos la llamada espiral áurea, presente en objetos naturales tales como la concha del Nautilus, la distribución de semillas del girasol, el feto humano, etc. (figura 3, Nautilus)
• Según las tradiciones que proponen un canon de belleza del cuerpo humano, si tomamos 1 como medida total del cuerpo, entonces la medida de los pies al ombligo debe ser exactamente f. (figura 4, ideal de L. da Vinci)
• Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci, planteó en el segle XIII un problema sobre reproducción de conejos que daba como resultat la sucesión

  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....,

  Dicha sucesión tiene importabans en Ciencias de la Naturaleza y cada término de ella se obtiene sumando los dos anteriores a él. Curiosamente, si vas dividiendo cada término por su siguiente en la sucesión, verás que salen aproximaciones cada vez mejores del nombre d'or. Eso no es extrany, ya que en realidad el límite de tales divisiones es el nombre d'or.
  
  

El hombre de Vitubrio

Para Leonardo da Vinci, las dimensiones a y b en el cuerpo perfecto deben dar un cociente igual a 0'618....