El producte escalar de dos vectors
és distributiu respecte de la suma de vectors:
·(+)
= ·
+ ·
Per demostra-ho tinguem en
compte (figura superior de la dreta):
1) En primer lloc, podem
calcular ·(+)
fent el producte de ||
per la projecció de +
sobre:
·(+)
= ||(+)|u
2) Ara bé,
com es pot veure a la figura, la projecció d'una suma de
vectors sobre un altre vectors és el mateix que la
suma de projeccions:
(+
)|u
= |u
+ |u
3) Enllaçant
les dues identitats anteriors, tenim:
·(+)=||(+)|u
=||(|u+|u)=|||u+|||u=·+·
Es pot objectar que a la figura
ho hem preparat molt bé per poder fer la afirmació
2). Què passa si la projecció sobre
d'algun dels vectors ,
o +
té sentit contrari al del vector
(tal com passa, per exemple, a la figura inferior de la dreta)?
Recordem que aquestes projeccions es fan amb signe i, per
tant, alguna projecció pot ser negativa. Què passa
aleshores? Per respondre a aquestes preguntes s'ha preparat la
següent activitat interactiva.
|
|